Segno e intersezione con gli assi di una funzione razionale fratta

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Segno e intersezione con gli assi di una funzione razionale fratta #41961

avt
Emi
Cerchio
Buon pomeriggio amici di YM! Qualcuno di buona volontà potrebbe dirmi come determinare il segno e l'intersezione con gli assi della funzione:

f(x)=\frac{x+4}{x^{2}+x}

Vorrei controllare se ho fatto bene, oppure ho dato i numeri... emt
 
 

Segno e intersezione con gli assi di una funzione razionale fratta #41970

avt
Omega
Amministratore
Ciao Emi emt

Se non includi il codice LATeX tra i tags TeX, l'output che ne risulta è illeggibile. Per questa volta correggo il testo del tuo messaggio, tienine però conto in futuro. emt

La funzione di cui vuoi studiare segno e intersezioni con gli assi è

f(x)=\frac{x+4}{x^2+x}

Cominciamo con le intersezioni con l'asse delle ascisse. Dove si annulla l'ordinata della funzione? Per scoprirlo, è sufficiente imporre che la generica ordinata y=f(x) sia nulla e risolvere la corrispondente equazione

\frac{x+4}{x^2+x}=0 da cui x+4=0\Rightarrow x=-4

La soluzione rientra nel dominio Dom(f)=(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,+\infty), quindi (-4,0) è l'unica intersezione del grafico di f con l'asse delle x.

Intersezione con l'asse delle ordinate (se esiste, è unica!). Si tratterebbe di valutare la funzione in x=0, ma dato che x=0\notin Dom(f) non possiamo farlo. Il grafico di f non interseca l'aasse delle y.

Segno: bisogna risolvere la disequazione f(x)\geq 0

\frac{x+4}{x^2+x}\geq 0

che è una disequazione fratta. Studia il segno di numeratore e denominatore separatamente

N\geq 0)\mbox{ }x\geq -4

D> 0)\mbox{ }x^2+x>0\Rightarrow x<-1\vee x>0

dopodiché confrontali nel grafico del segno per dedurre gli intervalli su cui la frazione è positiva.

f(x)\geq 0\Leftrightarrow x\in(-4,1)\vee x>0
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Emi, CarFaby

Segno e intersezione con gli assi di una funzione razionale fratta #41971

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Emi.
Se ho capito bene la tua funzione è questa:

\frac{x+4}{x^2+x}

DOMINIO:

x^2+x\neq0

Da cui

x(x+1)\neq0

e quindi

x\neq0 \wedge x\neq-1

Ovvero

D=R\{-1, 0}

INTERSEZIONE CON GLI ASSI

Poiché x deve essere diversa da 0, non vi sono intersezioni con l'asse y.

Per trovare le intersezioni con l'asse x, dobbiamo risolvere:

\frac{x+4}{x^2+x}=0

Da cui, banalmente, x=-4

Pertanto hai l'unico punto di intersezione:

A(-4,0)

STUDIO DEL SEGNO:

\frac{x+4}{x^2+x}\geq0

da cui:

{x+4}\geq0

e quindi

x\geq-4

e

x^2+x>0

Scrivendo l'equazione associata essa ammette le soluzioni reali 0 e -1. Pertanto la disequazione è verificata per:

x<-1 \vee x>0

Mettendo insieme i risultati abbiamo che la tua funzione è positiva per:

-4\leq x\leq-1 \vee x>0

mentre è negativa per

x\geq-4 \vee -1<x<0

Spero di essere stato chiaro

Ciao!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Emi, CarFaby
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Os