Equazione fratta di primo grado con CE e radicali

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Equazione fratta di primo grado con CE e radicali #41929

avt
cecilietta
Cerchio
Dovrei risolvere un'equazione fratta di primo grado in cui sono presenti dei radicali. A detta del libro l'equazione è impossibile, ma non riesco a capire perché.

Mostrare che la seguente equazione fratta di primo grado a coefficienti irrazionali è impossibile

\frac{\sqrt{3}x+1}{x^2+\sqrt{3}x}-\frac{3-\sqrt{3}x}{x^2-\sqrt{3}x}=\frac{2\sqrt{3}}{x}
 
 

Equazione fratta di primo grado con CE e radicali #41933

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio chiede di dimostrare che l'equazione fratta di primo grado

\frac{\sqrt{3}x+1}{x^2+\sqrt{3}x}-\frac{3-\sqrt{3}x}{x^2-\sqrt{3}x}=\frac{2\sqrt{3}}{x}

risulti impossibile. In altri termini, dobbiamo verificare che il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto. Per prima cosa scomponiamo i vari denominatori, partendo dal primo.

Raccogliendo totalmente x possiamo scrivere

x^2+\sqrt{3}x=x(x+\sqrt{3})

Per quanto concerne il secondo denominatore, procediamo come nel caso precedente:

x^2-\sqrt{3}x=x(x-\sqrt{3})

Grazie alle scomposizioni, l'equazione diventa

\frac{\sqrt{3}x+1}{x(x+\sqrt{3})}-\frac{3-\sqrt{3}x}{x(x-\sqrt{3})}=\frac{2\sqrt{3}}{x}

Imponiamo le condizioni di esistenza richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita siano diversi da zero. Iniziamo dal primo

x(x+\sqrt{3})\ne 0

Tale disuguaglianza si risolve mediante la legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro è diverso da zero se e solo se lo sono entrambi i fattori, ossia:

\\ x\ne 0 \\ \\ x+\sqrt{3}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -\sqrt{3}

Procediamo allo stesso identico modo per il secondo denominatore

x(x-\sqrt{3})\ne 0

da cui

\\ x\ne 0  \\ \\ x-\sqrt{3}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne \sqrt{3}

L'ultimo denominatore è facile da analizzare

x\ne 0

In definitiva, il C.E. associato all'equazione è dato da:

C.E.: \ x\ne 0 \ \wedge \ x\ne \sqrt{3} \ \wedge \ x\ne -\sqrt{3}

dove \wedge indica il connettivo logico "e".

Ora possiamo dedicarci alla risoluzione dell'equazione

\frac{\sqrt{3}x+1}{x(x+\sqrt{3})}-\frac{3-\sqrt{3}x}{x(x-\sqrt{3})}=\frac{2\sqrt{3}}{x}

Trasportiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni

\frac{\sqrt{3}x+1}{x(x+\sqrt{3})}-\frac{3-\sqrt{3}x}{x(x-\sqrt{3})}-\frac{2\sqrt{3}}{x}=0

Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

\frac{(\sqrt{3}x+1)(x-\sqrt{3})-(3-\sqrt{3}x)(x+\sqrt{3})-2\sqrt{3}(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}=0

Il denominatore ha smesso di svolgere la sua mansione: sotto il vincolo del C.E. possiamo sbarazzarcene

(\sqrt{3}x+1)(x-\sqrt{3})-(3-\sqrt{3}x)(x+\sqrt{3})-2\sqrt{3}(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0

È giunto il momento di svolgere i prodotti, notando in particolare che l'ultimo è in realtà una differenza di quadrati

\sqrt{3}x^2-\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}x+x-\sqrt{3}-(3x+3\sqrt{3}-\sqrt{3}x^2-\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}x)-2\sqrt{3}(x^2-3)=0

Continuiamo con i calcoli avvalendoci delle proprietà delle radici e la regola dei segni con cui possiamo sbarazzarci delle parentesi tonde

\sqrt{2}x^2-3x+x-\sqrt{3}-3x-3\sqrt{3}+\sqrt{3}x^2+3x-2\sqrt{3}x^2+6\sqrt{3}=0

Sommiamo tra loro i termini simili

-2x-\sqrt{3}-3\sqrt{3}+6\sqrt{3}=0

Trasportiamo i termini senza l'incognita al secondo membro, cambiando i loro segni

-2x=\sqrt{3}+3\sqrt{3}-6\sqrt{3}

e sommiamo i radicali simili a destra dell'uguale

-2x=-2\sqrt{3}

Siamo in dirittura d'arrivo: cambiamo i segni

2x=2\sqrt{3}

e dividiamo per 2 a destra e a sinistra

x=\frac{2\sqrt{3}}{2}

Riduciamo la frazione ai minimi termini ricavando:

x=\sqrt{3}

Attenzione! Il valore ottenuto non è soluzione dell'equazione perché non rispetta i vincoli dettati dalle condizioni di esistenza, ecco perché possiamo concludere che l'equazione è impossibile, proprio perché l'insieme soluzione è vuoto.
Ringraziano: Pi Greco, cecilietta
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Os