Equazione lineare goniometrica con seno e coseno, esercizio

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Equazione lineare goniometrica con seno e coseno, esercizio #41638

avt
zorro
Punto
Avrei bisogno di un aiuto per risolvere la seguente equazione trigonometrica in cui compaiono seno e coseno. Secondo il testo, è un'equazione simmetrica, ma non so cosa voglia dire.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica simmetrica

3\sin(x)\cos(x)-2(\sin(x)+\cos(x)-1)=0


Ah, un'ultima domanda: simmetrica vuol dire lineare? Grazie.
 
 

Equazione lineare goniometrica con seno e coseno, esercizio #41643

avt
Omega
Amministratore
Premessa

Occhio che l'equazione che hai scritto non è lineare; queste sono equazioni lineari in seno e coseno.

In realtà

3\sin(x)\cos(x)-2(\sin(x)+\cos(x)-1)=0

è un'equazione goniometrica simmetrica, vale a dire un'equazione, nelle sole funzioni seno e coseno, in cui scambiando i ruoli di seno e coseno, l'equazione rimane invariata.

Fine preambolo

Possiamo ricavare le soluzioni dell'equazione

3\sin(x)\cos(x)-2(\sin(x)+\cos(x)-1)=0

avvalendoci di due strategie risolutive: le formule parametriche di seno e coseno e mediante una opportuna sostituzione.

Risoluzione con le formule parametriche

Un modo per determinare le soluzioni consiste nell'utilizzare le formule parametriche per seno e coseno

\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2} \ \ \ ,\ \ \  \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}

dove t è la tangente di \frac{x}{2}.

Operando le sostituzioni, l'equazione in seno e coseno diventa

3\cdot\frac{2t}{1+t^2}\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}-2\left(\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}-1\right)=0

Calcoliamo il prodotto ed esprimiamo l'equazione in forma normale

\\ \frac{6t(1-t^2)}{(1+t^2)^2}-2\left(\frac{2t+1-t^2-1-t^2}{1+t^2}\right)=0 \\ \\ \\ \frac{6t-6t^3}{(1+t^2)^2}-\frac{4t-4t^2}{1+t^2}=0

da cui, svolgendo la somma tra le frazioni algebriche al primo membro, ricaviamo:

\frac{6t-6t^3-(1+t^2)(4t-4t^2)}{(1+t^2)^2}=0

Con qualche conticino, ci riconduciamo a un'equazione fratta nell'incognita t

\frac{4t^4-10t^3+4t^2+2t}{(1+t^2)^2}=0

Cancelliamo il denominatore ottenendo così l'equazione di quarto grado

4t^4-10t^3+4t^2+2t=0

Possiamo determinare le soluzioni raccogliendo il fattore comune t

t(4t^3-10t^2+4t+2)=0

e facendo intervenire la legge di annullamento del prodotto con cui passiamo alle equazioni

\\ t=0 \\ \\ 4t^3-10t^2+4t+2=0

La prima equazione è immediata mentre la seconda richiede qualche passaggio in più: inneschiamo la regola di Ruffini sul polinomio di terzo grado, scegliendo come soluzione particolare 1

\begin{array}{c|ccccc|c}&4&&-10&&4&2\\ &&&&&&\\ 1&&&4&&-6&-2\\ \hline &4&&-6&&-2&0\end{array}

Grazie alla tabella di Ruffini scopriamo che l'equazione di terzo grado può essere scomposta come segue

(t-1)(4t^2-6t-2)=0

Interviene ancora una volta la legge di annullamento del prodotto, che consente di scrivere le due equazioni

\\ t-1=0 \ \ \ \to \ \ \ t=1 \\ \\ 4t^2-6t-2=0

La prima è di facile risoluzione, mentre per quanto riguarda

4t^2-6t-2=0

possiamo dividere per 2 i termini

2t^2-3t-1=0

ottenendo così la forma normale di un'equazione di secondo grado associata, con coefficienti

a=2 \ \ \ , \ \ \ b=-3 \ \ \ ,\ \ \ c=-1

Il discriminante si ricava con la relazione

\Delta=b^2-4ac= (-3)^2-4\cdot 2\cdot (-1)=17

mentre le soluzioni sono date da:

\\ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{17}}{4}= \\ \\ \\ =\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}=\begin{cases}\frac{3-\sqrt{17}}{4}=t_1 \\ \\ \frac{3+\sqrt{17}}{4}=t_2\end{cases}

Prima di continuare, prendiamoci un momento per fare il punto della situazione: l'equazione

4t^4-10t^3+4t^2+2t=0

ammette le seguenti soluzioni

t=0 \ \ , \ \ t=1 \ \ ,\ \ t=\frac{3-\sqrt{17}}{4}\ \ , \ \ t=\frac{3+\sqrt{17}}{4}

Adesso possiamo ripristinare l'incognita x ricordando la sostituzione:

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)\ \ \ \mbox{con} \ x\ne\pi+2k\pi

mediante la quale saremo in grado di ricondurci a delle equazioni trigonometriche elementari nella tangente.

La relazione t=0 si traduce nell'equazione

\tan\left(\frac{x}{2}\right)=0

da cui

\frac{x}{2}=k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=2k\pi

La relazione t=1 si traduce nell'equazione goniometrica

\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1

da cui

\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

L'equazione associata alla relazione

t=\frac{3-\sqrt{17}}{4}

è

\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{3-\sqrt{17}}{4}

Purtroppo l'angolo per cui la tangente coincide con \frac{3-\sqrt{17}}{4} non è notevole pertanto dobbiamo far intervenire l'arcotangente e scrivere:

\frac{x}{2}=\arctan\left(\frac{3-\sqrt{17}}{4}\right)+k\pi

da cui

x=2\arctan\left(\frac{3-\sqrt{17}}{4}\right)+2k\pi

Infine, alla relazione

t=\frac{3+\sqrt{17}}{4}

associamo l'equazione

\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{3+\sqrt{17}}{4}

Procedendo come abbiamo fatto nel caso precedente, ricaviamo la famiglia di soluzioni

x=2\arctan\left(\frac{3+\sqrt{17}}{4}\right)+2k\pi

In conclusione, l'equazione goniometrica simmetrica

3\sin(x)\cos(x)-2(\sin(x)+\cos(x)-1)=0

è soddisfatta dalle seguenti famiglie

\\ x=2k\pi \\ \\ \\ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \\ \\ \\ x=2\arctan\left(\frac{3-\sqrt{17}}{4}\right)+2k\pi \\ \\ \\ x=2\arctan\left(\frac{3+\sqrt{17}}{4}\right)+2k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.



Risoluzione con l'opportuna sostituzione

Proprio perché

3\sin(x)\cos(x)-2(\sin(x)+\cos(x)-1)=0

è un'equazione goniometrica simmetrica, possiamo avvalerci di una sostituzione standard, valida ogniqualvolta che l'equazione possiede questa caratteristica: poniamo

x=y+\frac{\pi}{4}

così da riscrivere l'equazione nella forma

3\sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)-2\left(\sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)-1\right)=0

A questo punto intervengono le formule di addizione del seno e quelle del coseno, le quali consentono di scrivere le seguenti identità: la prima riguarda il seno

\\ \sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)=\sin(y)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(y)= \\ \\ \\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(y)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(y)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin(y)+\cos(y)\right)\\ \\ \mbox{per ogni} \ y\in\mathbb{R}

la seconda riguarda invece il coseno

\\ \cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)=\cos(y)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)-\sin\left(y\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)= \\ \\ \\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(y)-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(y)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos(y)-\sin(y)\right) \\ \\ \mbox{per ogni} \ y\in\mathbb{R}

Sfruttiamo queste identità per riscrivere i termini che compongono l'equazione:

\\ \sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)=\\ \\ \\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin(y)+\cos(y)\right)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos(y)-\sin(y)\right)=

Moltiplicando i coefficienti irrazionali e sfruttando la regola del prodotto tra una somma e una differenza, ricaviamo:

=\frac{1}{2}(\cos^2(y)-\sin^2(y))

Per quanto concerne la somma

\sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)=

essa diventa

\\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin(y)+\cos(y)\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos(y)-\sin(y)\right)= \\ \\ \\ = \sqrt{2}\cos(y)

Rimpiazziamo le espressioni nell'equazione

3\sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)-2\left(\sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)-1\right)=0

ricavando così

3\cdot \frac{1}{2}(\cos^2(y)-\sin^2(y))-2\left(\sqrt{2}\cos(y)-1\right)=0

In virtù dell'identità fondamentale della goniometria

\sin^2(y)=1-\cos^2(y) \ \ \ \mbox{per ogni} \ y\in\mathbb{R}

conseguentemente la precedente relazione diviene:

\frac{3}{2}(2\cos^2(y)-1)-2\left(\sqrt{2}\cos(y)-1\right)=0

Portiamo a termine i calcoli ed esprimiamo l'equazione nella sua forma più semplice, ossia:

3\cos^2(y)-2\sqrt{2}\cos(y)+\frac{1}{2}=0

da cui, moltiplicando i due membri per 2, otteniamo:

6\cos^2(y)-4\sqrt{2}\cos(y)+1=0

L'equazione ottenuta è in funzione del solo coseno di y, ha quindi senso porre

t=\cos^2(y)

cosicché si riscriva nella forma

6t^2-4\sqrt{2}t+1=0

Essa è chiaramente un'equazione di secondo grado nell'incognita t e con coefficienti

a=6 \ \ \ , \ \ \ b=-4\sqrt{2} \ \ \ , \ \ \ c=1

Per ricavare le sue soluzioni, utilizziamo la regola del delta quarti:

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=(-2\sqrt{2})^2-6\cdot 1=8-6=2

Le soluzioni sono pertanto

\\ t_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{-(-2\sqrt{2})\pm\sqrt{2}}{6}= \\ \\ \\ =\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{6}=\begin{cases}\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{6}=t_1\\ \\ \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}=t_2\end{cases}

Deduciamo quindi che le soluzioni dell'equazione in t sono

t=\frac{\sqrt{2}}{6} \ \ \ , \ \ \ t=\frac{\sqrt{2}}{2}

Poiché t=\cos(y), alla relazione

t=\frac{\sqrt{2}}{6}

associamo l'equazione elementare in coseno

\cos(y)=\frac{\sqrt{2}}{6}

Purtroppo l'angolo il cui coseno vale \frac{\sqrt{2}}{6} non è notevole, ecco perché siamo costretti a usare l'arcocoseno, grazie al quale ricaviamo le seguenti famiglie di soluzioni

y=-\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)+2k\pi

oppure

y=\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)+2k\pi

Dalla sostituzione

x=y+\frac{\pi}{4}

esprimiamo y in termini di x

y=x-\frac{\pi}{4}

di conseguenza

y=-\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)+2k\pi

si traduce nell'equazione

\\ x-\frac{\pi}{4}=-\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)+2k\pi \\ \\ \\ x=\frac{\pi}{4}-\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)+2k\pi

mentre la relazione

y=-\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)+2k\pi

diventa

\\ x-\frac{\pi}{4}=\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)+2k\pi \\ \\ \\ x=\frac{\pi}{4}+\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)+2k\pi

Per quanto concerne la relazione

t=\frac{\sqrt{2}}{2}

essa diviene

\cos(y)=\frac{\sqrt{2}}{2}

da cui

y=\frac{\pi}{4}+2k\pi

oppure

y=\frac{7\pi}{4}+2k\pi

Poiché y=x-\frac{\pi}{4}, la prima relazione diventa

y=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi

da cui

x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

La seconda relazione, ossia

y=\frac{7\pi}{4}+2k\pi

diventa invece

x-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}+2k\pi

da cui

x=\frac{8\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=2\pi+2k\pi

In conclusione, le soluzioni dell'equazione

3\sin(x)\cos(x)-2(\sin(x)+\cos(x)-1)=0

sono

\\ x=\frac{\pi}{4}-\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)+2k\pi \\ \\ \\ x=\frac{\pi}{4}+\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)+2k\pi\\ \\ \\ x=2\pi +2k\pi \\ \\ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

Osservazione: sebbene i due metodi conducano a risultati all'apparenza differenti, è possibile dimostrare che essi individuano il medesimo insieme di soluzioni.
Ringraziano: Pi Greco

Equazione lineare goniometrica con seno e coseno, esercizio #41682

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Grazie Omega!
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