Esercizio sulla divisione tra polinomi parametrici

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Esercizio sulla divisione tra polinomi parametrici #41379

avt
FAQ
Punto
Sono alle prese con un esercizio sulla divisione di polinomi a coefficienti letterali che non sono in grado di risolvere. Nonostante i numerosi tentativi, i miei risultati non coincidono con quelli che il libro propone.

Determinare quoziente e resto della seguente divisione polinomiale rispetto alla lettera a

(-b^2-1+a^2-2b):(a-1-b)

Grazie mille.
Ringraziano: matteo
 
 

Esercizio sulla divisione tra polinomi parametrici #46042

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio ci chiede di svolgere la divisione polinomiale

(-b^2-1+a^2-2b):(a-1-b)

considerando la lettera a come variabile. Indicati con N(a) \ \mbox{e} \ D(a) rispettivamente il polinomio dividendo e divisore, ossia

N(a)=-b^2-1+a^2-2b \ \ \ \mbox{e} \ \ \ D(a)=a-b-1

ordiniamoli secondo le potenze decrescenti della lettera a e completiamoli inserendo gli zeri al posto delle potenze di a mancanti: il dividendo diventa

N(a)=a^2+0\cdot a+(-b^2-2b-1)

mentre il divisore è

D(a)=a+(-b-1)

Nota: nelle parentesi tonde abbiamo evidenziato i termini noti di N(a)\ \mbox{e}\ D(a).

Disponiamo i due polinomi nella tabella per la divisione

\begin{array}{ccc|cc}a^2&+0a&+(-b^2-2b-1)&a&+(-b-1)\\ \cline{4-5}&&&&\end{array}

e dividiamo il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore

a^2:a=a

Il risultato è il primo termine del quoziente e va riportato sotto il divisore

\begin{array}{ccc|cc}a^2&+0a&+(-b^2-2b-1)&a&+(-b-1)\\ \cline{4-5}&&&a&\end{array}

Moltiplichiamo a per ciascun termine di a+(-b-1)

a(a+(-b-1))=a^2+(-b-1)a

Una volta cambiati i segni del polinomio prodotto, considerando cioè il polinomio

-a^2-(-b-1)a

incolonniamo, ordinatamente secondo le potenze di a, i suoi termini sotto il dividendo. In altre parole, riportiamo -a^2 sotto a^2 e (-b-1)a sotto 0a

\begin{array}{ccc|cc}a^2&+0a&+(-b^2-2b-1)&a&+(-b-1)\\ \cline{4-5}&&&a&\\ -a^2&-(-b-1)a&&&\\ \cline{1-3}&&&&\end{array}

A questo punto eseguiamo la somma tra i polinomi

a^2+0a\ \ \ \mbox{e} \ \ \ -a^2-(-b-1)a

e riportiamo il polinomio risultante sotto la linea di separazione

\begin{array}{ccc|cc}a^2&+0a&+(-b^2-2b-1)&a&+(-b-1)\\ \cline{4-5}&&&a&\\ -a^2&-(-b-1)a&&&\\ \cline{1-3}//&-(-b-1)a&+(-b^2-2b-1)&&\end{array}

Si noti che per la regola dei segni, l'espressione -(-b-1)a si scrive in forma del tutto equivalente come (b+1)a

\begin{array}{ccc|cc}a^2&+0a&+(-b^2-2b-1)&a&+(-b-1)\\ \cline{4-5}&&&a&\\ -a^2&-(-b-1)a&&&\\ \cline{1-3}//&+(b+1)a&+(-b^2-2b-1)&&\end{array}

Il grado del polinomio resto

(b+1)a+(-b^2-2b-1)

rispetto alla lettera a è uguale a 1 e coincide con il grado del divisore, per cui dobbiamo necessariamente continuare con la divisione.

Dividiamo il primo termine del resto per il primo termine del divisore, ricavando così il secondo termine del quoziente:

(b+1)a:a=(b+1)

Riportiamolo nella tabella della divisione

\begin{array}{ccc|cc}a^2&+0a&+(-b^2-2b-1)&a&+(-b-1)\\ \cline{4-5}&&&a&+(b+1)\\ -a^2&-(-b-1)a&&&\\ \cline{1-3}//&+(b+1)a&+(-b^2-2b-1)&&\end{array}

e moltiplichiamolo per il divisore

\\ (b+1)\cdot(a+(-b-1))=(b+1)a+(-b-1)(b+1)= \\ \\ = (b+1)a-(b+1)^2=

che, sviluppato il quadrato di binomio, diventa

=(b+1)a-(b^2+2b+1)

Cambiamo i segni ai termini del prodotto, consideriamo cioè il polinomio:

-(b+1)a+(b^2+2b+1)

e riportiamoli sotto il resto parziale, incolonnando le espressioni secondo le potenze di a: esplicitamente sotto (b+1)a del resto riportiamo -(b+1)a; sotto -b^2-2b-1 riportiamo b^2-2b-1

\begin{array}{ccc|cc}a^2&+0a&+(-b^2-2b-1)&a&+(-b-1)\\ \cline{4-5}&&&a&+(b+1)\\ -a^2&-(-b-1)a&&&\\ \cline{1-3}//&+(b+1)a&+(-b^2-2b-1)&&\\ &&&& \\ &-(b+1)a&+(b^2+2b+1)\\ \cline{2-3}&&&&\end{array}

Addizioniamo in colonna

(b+1)a+(-b^2-2b-1)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ -(b+1)a+b^2+2b+1

e riportiamo la somma sotto la linea di separazione

\begin{array}{ccc|cc}a^2&+0a&+(-b^2-2b-1)&a&+(-b-1)\\ \cline{4-5}&&&a&+(b+1)\\ -a^2&-(-b-1)a&&&\\ \cline{1-3}//&+(b+1)a&+(-b^2-2b-1)&&\\ &&&& \\ &-(b+1)a&+(b^2+2b+1)\\ \cline{2-3}&//&//&&\end{array}

Il resto ottenuto è nullo, pertanto l'algoritmo della divisione polinomiale è giunto al termine! Ci manca solo l'ultima cosa da fare: estrapolare il quoziente e il resto dalla tabella della divisione.

Q(a)=a+b+1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ R(a)=0

Controlliamo la correttezza dell'esercizio, verificando la seguente uguaglianza:

N(a)=D(a)Q(a)+R(a)

A parole? Dobbiamo controllare che il prodotto tra il divisore e il quoziente, cui va aggiunto il resto, coincide con il dividendo.

(a+(-b-1))(a+(b+1))+0=(a-(b+1))(a+(b+1))=

Usiamo la regola sul prodotto di una somma per una differenza per limitare il numero di passaggi

=a^2-(b+1)^2=

Sviluppiamo il quadrato di binomio e riportiamo il risultato

=a^2-(b^2+2b+1)=a^2-b^2-2b-1=N(a)

Poiché il polinomio ottenuto coincide con il dividendo, possiamo concludere che l'esercizio è svolto correttamente.
Ringraziano: toyo10
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Os