Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9

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Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41000

avt
mazzeo
Punto
Ciao community, è da un'oretta che tento di risolvere queste due disequazioni esponenziali, ma senza successo. emt

(9*3^(-x)) / (9^(x) + 3^(2x)) > 27/2

E quest'altra

2^(x)-1 > √(3*2^(x)-3)

Vi ringrazio, mi sto scervellando emt

Non ho messo i tag perché spariscono gli esponenti... emt
 
 

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41001

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao mazzeo, prima di procedere, ho bisogno di una conferma:

La prima disequazione è

\frac{9\cdot 3^{-x}}{9^x+3^{2 x}}>\frac{27}{2}

giusto?

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41003

avt
mazzeo
Punto
Si è lei (putroppo emt )

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41004

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok, iniziamo! emt Il trucco per risolvere questo tipo di disequazioni esponenziali è fare in modo che tutti i termini in cui compare la x abbiano la stessa base.

Osserva che per le proprietà delle funzioni esponenziali possiamo scrivere quanto segue:

9^x= (3^2)^x= 3^{2x}

La disequazione si scrive quindi come:

\frac{9\cdot 3^{-x}}{3^{2x}+3^{2x}}>\frac{27}{2}

Sommiamo i termini simili al denominatore:

\frac{9\cdot 3^{-x}}{2\cdot 3^{2x}}>\frac{27}{2}

Sempre per le proprietà delle funzioni esponenziali:

\frac{9}{2} \frac{3^{-x}}{3^{2x}}>\frac{27}{2}

\frac{9}{2} \cdot 3^{-x-2x}>\frac{27}{2}


\frac{9}{2} \cdot 3^{-3x}>\frac{27}{2}

Semplifichiamo il 2, membro a membro:

9 \cdot 3^{-3x}>27

dividiamo membro a membro per 9:

3^{-3x}>3

Da cui:

-3x>1\iff 3x<-1\iff x<-\frac{1}{3}

La prima è andata.

La seconda è:

2^x-1>\sqrt{3\cdot 2^x-3}

giusto?
Ringraziano: Omega

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41005

avt
mazzeo
Punto
Ma sei un genio, ti ringrazio il risultato è prorio -1/3
Sei stato gentilissimo, non so come ringraziarti!

La seconda non è 32 ma 3*2 emt

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41006

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok,

2^x-1>\sqrt{3\cdot 2^x-3}

Per prima cosa determiniamo il campo d'esistenza, la presenza della radice impone che il suo radicando sia maggiore o uguale a zero:

3\cdot 2^x-3\ge 0\iff 3(2^x-1)\ge 0\iff 2^x-1\ge 0\iff x\ge 0

e questo rappresenta il campo d'esistenza.


mettiamo in evidenza 3 all'interno della radice:

2^x-1>\sqrt{3\cdot (2^x-1)}


A questo punto ci facciamo furbi! Poniamo t= 2^x-1 così da ricondurci ad una disequazione irrazionale.

\overbrace{2^x-1}^{t}>\sqrt{3\cdot \underbrace{(2^x-1)}_{t}}


La disequazione diventa quindi:

t>\sqrt{3t}\iff \sqrt{3t}<t

Questa disequazione equivale al sistema:

\begin{cases}3t\ge 0\\ t\ge 0\\ 3t<t^2\end{cases}

Le prime due disequazioni sono banali, la terza un po' meno.

3t<t^2\iff t^2-3t>0\iff t<0\vee t>3

Dalla prima e dalla seconda disequazione del sistema abbiamo scoperto che t\ge 0 pertanto le soluzioni t<0 non sono accettabili, abbiamo la sola condizione t>3

Ma la nostra t è 2^x-1, di conseguenza la disequazione diventa:

t>3\iff 2^x-1>3\iff 2^x>4\iff 2^x>2^2\iff x>2

Abbiamo finito! emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41007

avt
mazzeo
Punto
Solo 3 parole: sei un genio.

Non so davvero come ringraziarti, mi hai salvato!

Grazie di tutto! emt
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Os