Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9

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Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41000

avt
mazzeo
Punto
Ciao community, è da un'oretta che tento di risolvere queste due disequazioni esponenziali, ma senza successo. emt

(9*3^(-x)) / (9^(x) + 3^(2x)) > 27/2

E quest'altra

2^(x)-1 > √(3*2^(x)-3)

Vi ringrazio, mi sto scervellando emt

Non ho messo i tag perché spariscono gli esponenti... emt
 
 

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41001

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao mazzeo, prima di procedere, ho bisogno di una conferma:

La prima disequazione è

(9·3^(-x))/(9^x+3^(2 x)) > (27)/(2)

giusto?

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41003

avt
mazzeo
Punto
Si è lei (putroppo emt )

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41004

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, iniziamo! emt Il trucco per risolvere questo tipo di disequazioni esponenziali è fare in modo che tutti i termini in cui compare la x abbiano la stessa base.

Osserva che per le proprietà delle funzioni esponenziali possiamo scrivere quanto segue:

9^x = (3^2)^x = 3^(2x)

La disequazione si scrive quindi come:

(9·3^(-x))/(3^(2x)+3^(2x)) > (27)/(2)

Sommiamo i termini simili al denominatore:

(9·3^(-x))/(2·3^(2x)) > (27)/(2)

Sempre per le proprietà delle funzioni esponenziali:

(9)/(2) (3^(-x))/(3^(2x)) > (27)/(2)

(9)/(2)·3^(-x-2x) > (27)/(2)


(9)/(2)·3^(-3x) > (27)/(2)

Semplifichiamo il 2, membro a membro:

9·3^(-3x) > 27

dividiamo membro a membro per 9:

3^(-3x) > 3

Da cui:

-3x > 1 ⇔ 3x < -1 ⇔ x < -(1)/(3)

La prima è andata.

La seconda è:

2^x-1 > √(3·2^x-3)

giusto?
Ringraziano: Omega

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41005

avt
mazzeo
Punto
Ma sei un genio, ti ringrazio il risultato è prorio -1/3
Sei stato gentilissimo, non so come ringraziarti!

La seconda non è 32 ma 3*2 emt

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41006

avt
Ifrit
Amministratore
Ok,

2^x-1 > √(3·2^x-3)

Per prima cosa determiniamo il campo d'esistenza, la presenza della radice impone che il suo radicando sia maggiore o uguale a zero:

3·2^x-3 ≥ 0 ⇔ 3(2^x-1) ≥ 0 ⇔ 2^x-1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

e questo rappresenta il campo d'esistenza.


mettiamo in evidenza 3 all'interno della radice:

2^x-1 > √(3·(2^x-1))


A questo punto ci facciamo furbi! Poniamo t = 2^x-1 così da ricondurci ad una disequazione irrazionale.

2^x-1 (t) > √(3·(2^x-1) (t))


La disequazione diventa quindi:

t > √(3t) ⇔ √(3t) < t

Questa disequazione equivale al sistema:

3t ≥ 0 ; t ≥ 0 ; 3t < t^2

Le prime due disequazioni sono banali, la terza un po' meno.

3t < t^2 ⇔ t^2-3t > 0 ⇔ t < 0 ∨ t > 3

Dalla prima e dalla seconda disequazione del sistema abbiamo scoperto che t ≥ 0 pertanto le soluzioni t<0 non sono accettabili, abbiamo la sola condizione t>3

Ma la nostra t è 2^x-1, di conseguenza la disequazione diventa:

t > 3 ⇔ 2^x-1 > 3 ⇔ 2^x > 4 ⇔ 2^x > 2^2 ⇔ x > 2

Abbiamo finito! emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41007

avt
mazzeo
Punto
Solo 3 parole: sei un genio.

Non so davvero come ringraziarti, mi hai salvato!

Grazie di tutto! emt
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Os