Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9

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Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41000

mazzeo Punto	Ciao community, è da un'oretta che tento di risolvere queste due disequazioni esponenziali, ma senza successo. (93^(-x)) / (9^(x) + 3^(2x)) > 27/2 E quest'altra 2^(x)-1 > √(32^(x)-3) Vi ringrazio, mi sto scervellando Non ho messo i tag perché spariscono gli esponenti...

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41001

Ifrit Ambasciatore	Ciao mazzeo, prima di procedere, ho bisogno di una conferma: La prima disequazione è $\frac{9\cdot 3^{-x}}{9^x+3^{2 x}}>\frac{27}{2}$ giusto?

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41003

mazzeo Punto	Si è lei (putroppo )

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41004

Ifrit

Ambasciatore

Ok, iniziamo! emt

Il trucco per risolvere questo tipo di disequazioni esponenziali è fare in modo che tutti i termini in cui compare la x abbiano la stessa base.

Osserva che per le proprietà delle funzioni esponenziali possiamo scrivere quanto segue:

$9^x= (3^2)^x= 3^{2x}$

La disequazione si scrive quindi come:

$\frac{9\cdot 3^{-x}}{3^{2x}+3^{2x}}>\frac{27}{2}$

Sommiamo i termini simili al denominatore:

$\frac{9\cdot 3^{-x}}{2\cdot 3^{2x}}>\frac{27}{2}$

Sempre per le proprietà delle funzioni esponenziali:

$\frac{9}{2} \frac{3^{-x}}{3^{2x}}>\frac{27}{2}$

$\frac{9}{2} \cdot 3^{-x-2x}>\frac{27}{2}$

$\frac{9}{2} \cdot 3^{-3x}>\frac{27}{2}$

Semplifichiamo il 2, membro a membro:

$9 \cdot 3^{-3x}>27$

dividiamo membro a membro per 9:

$3^{-3x}>3$

Da cui:

$-3x>1\iff 3x<-1\iff x<-\frac{1}{3}$

La prima è andata.

La seconda è:

$2^x-1>\sqrt{3\cdot 2^x-3}$

giusto?

Ringraziano: Omega

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41005

mazzeo Punto	Ma sei un genio, ti ringrazio il risultato è prorio -1/3 Sei stato gentilissimo, non so come ringraziarti! La seconda non è 32 ma 3*2

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41006

Ifrit

Ambasciatore

Ok,

$2^x-1>\sqrt{3\cdot 2^x-3}$

Per prima cosa determiniamo il campo d'esistenza, la presenza della radice impone che il suo radicando sia maggiore o uguale a zero:

$3\cdot 2^x-3\ge 0\iff 3(2^x-1)\ge 0\iff 2^x-1\ge 0\iff x\ge 0$

e questo rappresenta il campo d'esistenza.

mettiamo in evidenza 3 all'interno della radice:

$2^x-1>\sqrt{3\cdot (2^x-1)}$

A questo punto ci facciamo furbi! Poniamo

così da ricondurci ad una disequazione irrazionale.

$\overbrace{2^x-1}^{t}>\sqrt{3\cdot \underbrace{(2^x-1)}_{t}}$

La disequazione diventa quindi:

$t>\sqrt{3t}\iff \sqrt{3t}<t$

Questa disequazione equivale al sistema:

$\begin{cases}3t\ge 0\\ t\ge 0\\ 3t<t^2\end{cases}$

Le prime due disequazioni sono banali, la terza un po' meno.

$3t<t^2\iff t^2-3t>0\iff t<0\vee t>3$

Dalla prima e dalla seconda disequazione del sistema abbiamo scoperto che $t\ge 0$ pertanto le soluzioni t<0 non sono accettabili, abbiamo la sola condizione t>3

Ma la nostra t è

, di conseguenza la disequazione diventa:

$t>3\iff 2^x-1>3\iff 2^x>4\iff 2^x>2^2\iff x>2$

Abbiamo finito! emt

Ringraziano: Omega, Pi Greco

Risoluzione di disequazioni esponenziali con base 2 e 9 #41007

mazzeo Punto	Solo 3 parole: sei un genio. Non so davvero come ringraziarti, mi hai salvato! Grazie di tutto!

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