Sistema di equazioni con equazione in modulo

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Sistema di equazioni con equazione in modulo #40998

avt
Samatarou
Cerchio
Ho bisogno di una mano per risolvere un sistema di equazioni composta da un'equazione con valore assoluto e da una equazione lineare. Ho pensato di procedere per sostituzione, però non sono in grado di risolvere la risultante.

Risolvere il seguente sistema di equazioni

\begin{cases}|x+y-1|=x\\ \\ x-y-1=0\end{cases}

Grazie mille.
 
 

Sistema di equazioni con equazione in modulo #41009

avt
Omega
Amministratore
Per ricavare le eventuali soluzioni del sistema di equazioni

\begin{cases}|x+y-1|=x\\ \\ x-y-1=0\end{cases}

possiamo procedere con il metodo di sostituzione. Dal punto di vista operativo, esplicitiamo y dall'equazione lineare

\begin{cases}|x+y-1|=x\\ \\ y=x-1\end{cases}

dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta nella prima equazione del sistema

\begin{cases}|x+(x-1)-1|=x\\ \\ y=x-1\end{cases}

Sommati i termini simili all'interno del valore assoluto, il sistema diventa

\begin{cases}|2x-2|=x\\ \\ y=x-1\end{cases}

Perfetto! La prima relazione è un'equazione con valore assoluto che dipende esclusivamente dall'incognita x ed è pertanto di semplice risoluzione.

|2x-2|=x

è del tipo |A(x)|=B(x) ed ha lo stesso insieme soluzione che si ottiene dall'unione dei seguenti sistemi

\begin{cases}2x-2\ge 0 \\ \\ 2x-2=x\end{cases} \ \ \ \bigcup \ \ \ \begin{cases}2x-2<0\\ \\ 2-2x=x\end{cases}

In buona sostanza, occorre risolverli separatamente, dopodiché uniremo le soluzioni. Consideriamo il primo sistema

\begin{cases}2x-2\ge 0 \\ \\ 2x-2=x\end{cases}

Per determinarne le eventuali soluzioni, risolviamo sia la disequazione di primo grado (2x-2\ge 0) sia l'equazione di primo grado con le usuali tecniche:

\begin{cases}x\ge 1\\ \\ x=2\end{cases}

Poiché x=2 soddisfa la relazione x\ge 1, essa è una soluzione del sistema misto.

Occupiamoci del secondo sistema

\begin{cases}2x-2<0\\ \\ 2-2x=x\end{cases}

che grazie a dei semplici passaggi algebrici diventa

\begin{cases}x<1\\ \\ 3x=2 \ \ \ \to \ \ \ x=\dfrac{2}{3}\end{cases}

Poiché x=\frac{2}{3} rispetta la prima condizione, essa è a tutti gli effetti l'unica soluzione del sistema.

Possiamo affermare che l'unione di sistemi

\begin{cases}2x-2\ge 0 \\ \\ 2x-2=x\end{cases} \ \ \ \bigcup \ \ \ \begin{cases}2x-2<0\\ \\ 2-2x=x\end{cases}

fornisce i seguenti valori di x:

x=2 \ \ \ \vee  \ \ \ x=\frac{2}{3}

A ciascuno di essi dobbiamo associare i corrispettivi valori di y che si ottengono usando l'equazione lineare y=x-1.

A x=2 associamo il valore y=2-1=1 e costruiamo la prima coppia ordinata che soddisfa il sistema iniziale, vale a dire: (x,y)=(2,1);

A x=\frac{2}{3} associamo il valore y=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3} e costruiamo la prima coppia ordinata che soddisfa il sistema dato, ossia: (x,y)=\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right).

Ecco fatto!
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Os