Sistema con equazione in valore assoluto e di secondo grado

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Sistema con equazione in valore assoluto e di secondo grado #40984

avt
frida
Cerchio
Durante il compito mi si è presentato davanti un sistema di equazioni non lineari e in due incognite, caratterizzato dalla presenza del valore assoluto. Sebbene abbia tentato di ricavare le soluzioni, non sono stato in grado di risolvere la risolvente e li mi sono fermato.

Calcolare le eventuali soluzioni del seguente sistema non lineare

\begin{cases}|x-y-1|=1\\ \\ xy+x^2+x=0\end{cases}

Grazie.
 
 

Sistema con equazione in valore assoluto e di secondo grado #40986

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo il sistema di equazioni

\begin{cases}|x-y-1|=1\\ \\ xy+x^2+x=0\end{cases}

Il nostro compito prevede di determinare le coppie (x,y) le cui coordinate soddisfano contemporaneamente le equazioni che compongono il sistema.

Partiamo dalla seconda relazione e tentiamo di scomporla con la tecnica del raccoglimento totale: mettiamo in evidenza il fattore comune x.

\begin{cases}|x-y-1|=1\\ \\ x(y+x+1)=0\end{cases}

In virtù della legge di annullamento del prodotto, l'equazione

x(y+x+1)=0

si spezza nelle due equazioni elementari

x=0 \ \ \ \vee \ \ \ y+x+1=0

per cui il sistema dato ha il medesimo insieme delle soluzioni che si ottiene unendo gli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi.

\begin{cases}|x-y-1|=1\\ \\ x=0\end{cases} \ \ \ \bigcup \ \ \ \begin{cases}|x-y-1|=1\\ \\ y+x+1=0\end{cases}

Consideriamo il primo sistema

\begin{cases}|x-y-1|=1\\ \\ x=0\end{cases}

Per risolverlo è sufficiente rimpiazzare x con zero nella prima equazione

\begin{cases}|-y-1|=1 \\ \\ x=0\end{cases}

e studiare quindi l'equazione con valore assoluto nell'incognita y, vale a dire:

|-y-1|=1

In accordo con la teoria, essa è equivalente alle relazioni:

-y-1=-1\ \ \ \vee \ \ \  -y-1=1

da cui

y=0 \ \ \ \vee  \ \ \ y=-2

Con x=0 e con i valori di y siamo in grado di costruire le prime due coppie che soddisfano il sistema di partenza

(x,y)=(0,0) \ \ \ , \ \ \ (x,y)=(0,-2)

Per esaminare il sistema

\begin{cases}|x-y-1|=1\\ \\ y+x+1=0\end{cases}

è sufficiente isolare y dall'equazione lineare e rimpiazzare l'espressione nella prima

\begin{cases}|x-(-x-1)-1|=1\\ \\ y=-x-1\end{cases}

Svolgiamo i calcoli per semplificare l'argomento del valore assoluto così da ricavare il sistema:

\begin{cases}|2x|=1\\ \\ y=-x-1\end{cases}

Si noti che la prima è un'equazione nella sola incognita x e le sue soluzioni forniscono l'ascissa delle coppie che soddisfano il sistema iniziale.

|2x|=1 \ \ \ \to \ \ \ 2x=-1 \ \ \ \vee \ \ \ 2x =1

da cui

x=-\frac{1}{2}\ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{1}{2}

Non ci resta che sfruttare i valori di x per ricavare i rispettivi valori di y: nulla di complicato, è sufficiente sostituire -\frac{1}{2}\ \mbox{e} \ \frac{1}{2} al posto di x nell'uguaglianza y=-x-1.

Se x=-\frac{1}{2}, il corrispondente y è:

y=-x-1 \ \ \ \to \ \ \ y=-\left(-\frac{1}{2}\right)-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}

ergo la coppia (x,y)=\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right) è soluzione del sistema dato.

Se x=\frac{1}{2}, il corrispondente y è:

y=-x-1\ \ \ \to \ \ \ y=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}

per cui (x,y)=\left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}\right) è un'ulteriore coppia che soddisfa il sistema iniziale.

In definitiva, il sistema non lineare

\begin{cases}|x-y-1|=1\\ \\ xy+x^2+x=0\end{cases}

è soddisfatto dalle seguenti coppie di numeri reali:

\\ (x,y)=(0,0) \ \ \ , \ \ \ (x,y)=(0,-2)\\ \\ (x,y)=\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)\ \ \ , \ \ \ (x,y)=\left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}\right)

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega
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Os