Sistema con equazione in valore assoluto e di secondo grado

Durante il compito mi si è presentato davanti un sistema di equazioni non lineari e in due incognite, caratterizzato dalla presenza del valore assoluto. Sebbene abbia tentato di ricavare le soluzioni, non sono stato in grado di risolvere la risolvente e li mi sono fermato.

Calcolare le eventuali soluzioni del seguente sistema non lineare



Grazie.

Consideriamo il sistema di equazioni



Il nostro compito prevede di determinare le coppie le cui coordinate soddisfano contemporaneamente le equazioni che compongono il sistema.

Partiamo dalla seconda relazione e tentiamo di scomporla con la tecnica del raccoglimento totale: mettiamo in evidenza il fattore comune .



In virtù della legge di annullamento del prodotto, l'equazione



si spezza nelle due equazioni elementari



per cui il sistema dato ha il medesimo insieme delle soluzioni che si ottiene unendo gli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi.



Consideriamo il primo sistema



Per risolverlo è sufficiente rimpiazzare con zero nella prima equazione



e studiare quindi l'equazione con valore assoluto nell'incognita , vale a dire:



In accordo con la teoria, essa è equivalente alle relazioni:



da cui



Con e con i valori di siamo in grado di costruire le prime due coppie che soddisfano il sistema di partenza



Per esaminare il sistema



è sufficiente isolare dall'equazione lineare e rimpiazzare l'espressione nella prima



Svolgiamo i calcoli per semplificare l'argomento del valore assoluto così da ricavare il sistema:



Si noti che la prima è un'equazione nella sola incognita e le sue soluzioni forniscono l'ascissa delle coppie che soddisfano il sistema iniziale.



da cui



Non ci resta che sfruttare i valori di per ricavare i rispettivi valori di : nulla di complicato, è sufficiente sostituire al posto di nell'uguaglianza .

Se , il corrispondente è:



ergo la coppia è soluzione del sistema dato.

Se , il corrispondente è:



per cui è un'ulteriore coppia che soddisfa il sistema iniziale.

In definitiva, il sistema non lineare



è soddisfatto dalle seguenti coppie di numeri reali:



Abbiamo finito!