Equazione di secondo grado con radicali, esercizio

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#40805
avt
estella
Punto

Potreste aiutarmi a risolvere questa equazione di secondo grado con i radicali? L'equazione è completa e già in forma normale, ma non riesco a usare correttamente le formule.

Determinare le eventuali soluzioni dell'equazione di secondo grado

x^2−√(2)x−4 = 0

Grazie mille.

#40813
avt
Ifrit
Amministratore

Il nostro compito consiste nel determinare le eventuali soluzioni dell'equazione di secondo grado

x^2−√(2)x−4 = 0

Essa è già espressa in forma canonica, ossia nella forma

ax^2+bx+c = 0

dove a, b e c sono rispettivamente il coefficiente di x^2, il coefficiente di x e il termine noto:

a = 1 ; b = −√(2) ; c = −4

Calcoliamo il discriminante associato:

Δ = b^2−4ac = (−√(2))^2−4·1·(−4) = 18

Esso è positivo, dunque l'equazione è determinata: ammette due soluzioni reali e distinte. Per calcolarle abbiamo bisogno della radice quadrata del delta, ossia

√(Δ) = √(18) =

Semplifichiamo il radicale: per farlo scomponiamo in fattori primi 18

= √(3^2·2) =

dopodiché trasportiamo fuori dalla radice 3

= 3√(2)

A questo punto possiamo ricavare le soluzioni mediante la relazione

x_(1,2) = (−b±√(Δ))/(2a) = (√(2)±3√(2))/(2)

Esplicitiamo i due termini, usando una volta il segno meno e un'altra usando il segno più

x_1 = (√(2)−3√(2))/(2) = (−2√(2))/(2) = −√(2) ; x_2 = (√(2)+3√(2))/(2) = (4√(2))/(2) = 2√(2)

Nota bene: per semplificare il più possibile il risultato abbiamo addizionato tra loro i radicali simili, vale a dire quei radicali che hanno la stessa parte radicale, sommando i loro coefficienti.

Ecco fatto.

Ringraziano: Omega, Pi Greco
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