Equazione di secondo grado con radicali, esercizio

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Equazione di secondo grado con radicali, esercizio #40805

avt
estella
Punto
Potreste aiutarmi a risolvere questa equazione di secondo grado con i radicali? L'equazione è completa e già in forma normale, ma non riesco a usare correttamente le formule.

Determinare le eventuali soluzioni dell'equazione di secondo grado

x^2-\sqrt{2}x-4 = 0

Grazie mille.
 
 

Equazione di secondo grado con radicali, esercizio #40813

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro compito consiste nel determinare le eventuali soluzioni dell'equazione di secondo grado

x^2-\sqrt{2}x-4 = 0

Essa è già espressa in forma canonica, ossia nella forma

ax^2+bx+c=0

dove a, \ b \ \mbox{e} \ c sono rispettivamente il coefficiente di x^2, il coefficiente di x e il termine noto:

a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-\sqrt{2} \ \ \ ; \ \ \ c=-4

Calcoliamo il discriminante associato:

\Delta= b^2-4ac=(-\sqrt{2})^2-4\cdot 1\cdot(-4)= 18

Esso è positivo, dunque l'equazione è determinata: ammette due soluzioni reali e distinte. Per calcolarle abbiamo bisogno della radice quadrata del delta, ossia

\sqrt{\Delta}=\sqrt{18}=

Semplifichiamo il radicale: per farlo scomponiamo in fattori primi 18

=\sqrt{3^2\cdot 2}=

dopodiché trasportiamo fuori dalla radice 3

=3\sqrt{2}

A questo punto possiamo ricavare le soluzioni mediante la relazione

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{\sqrt{2}\pm 3\sqrt{2}}{2}

Esplicitiamo i due termini, usando una volta il segno meno e un'altra usando il segno più

\\ x_1=\frac{\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2}=\frac{-2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}\\ \\ \\ x_2= \frac{\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}

Nota bene: per semplificare il più possibile il risultato abbiamo addizionato tra loro i radicali simili, vale a dire quei radicali che hanno la stessa parte radicale, sommando i loro coefficienti.

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os