Equazione goniometrica lineare con metodo dell'angolo aggiunto

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Equazione goniometrica lineare con metodo dell'angolo aggiunto #40728

avt
AntonioD
Frattale
Ho bisogno di una mano per risolvere un'equazione lineare in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiunto che sinceramente non capisco come funzioni.

Risolvere la seguente equazione lineare in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiunto.

sin(x)+cos(x) = 1

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Marietto, xavier310
 
 

Equazione goniometrica lineare con metodo dell'angolo aggiunto #40782

avt
Ifrit
Amministratore
Il metodo dell'angolo aggiunto per le equazioni lineari in seno e coseno

Asin(x)+Bcos(x) = C

consiste nel determinare un numero reale non negativo R e un angolo φ compreso tra 0 e 2π con i quali è possibile considerare l'equazione equivalente a quella data

Rsin(x+φ) = C

Il numero R si ricava estraendo la radice quadrata della somma tra i quadrati di A e B, ossia

R = √(A^2+B^2)

mentre φ è quell'angolo compreso tra 0 e 2π che realizza il sistema di equazioni

sin(x) = (B)/(R) ; cos(x) = (A)/(R)

Dopo questa premessa, consideriamo l'equazione

sin(x)+cos(x) = 1

e chiamiamo A e B i coefficienti di seno e coseno rispettivamente

A = 1 , B = 1

Grazie a essi, possiamo calcolare R con la formula

R = √(A^2+B^2) = √(1^2+1^2) = √(2)

mentre φ è l'unico angolo compreso tra 0 e 2π che soddisfa il sistema

sin(φ) = (1)/(√(2)) ; cos(φ) = (1)/(√(2))

da cui ricaviamo φ = (π)/(4).

In definitiva, l'equazione goniometrica elementare in seno equivalente a quella data è

√(2)sin(x+(π)/(4)) = 1

ossia

sin(x+(π)/(4)) = (1)/(√(2))

Ricordiamo che il seno di un angolo è uguale a (1)/(√(2)) se e solo se l'angolo vale

(π)/(4)+2kπ oppure (3π)/(4)+2kπ

dove k è un numero intero.

Questa osservazione consente di scrivere le equazioni

x+(π)/(4) = (π)/(4)+2kπ → x = 2kπ ; x+(π)/(4) = (3π)/(4)+2kπ → x = (π)/(2)+2kπ

pertanto concludiamo che l'equazione

sin(x)+cos(x) = 1

è soddisfatta dai valori

x = 2kπ , x = (π)/(2)+2kπ

dove k è un numero intero.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Marietto
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Os