Problema con un passaggio in una disequazione logaritmica

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Problema con un passaggio in una disequazione logaritmica #40522

avt
fuvell
Punto
Ciao, non riesco a capire come risolvere una semplice disequazione logaritmica, ho un dubbio con un passaggio.

La disequazione è la seguente:

\log_{10}x<\log_{\frac{1}{2}}x

L'esercizio ha come soluzione 0 < x < 1 e fra i passaggi intermedi è riportato:

\log_{10}x<\log_{\frac{1}{2}}e * \log_{10}x

Non capisco il perché viene utilizzato il numero di Nepero.
 
 

Problema con un passaggio in una disequazione logaritmica #40686

avt
lorenzo45654
Frattale
Ciao Fuvell,

io risolverei la disequazione logaritmica applicando la regola del cambiamento di base ossia ricordando che

\log_{\frac{1}{2}}(x)=\frac{log_{10}(x)}{\log_{10}(\frac{1}{2})}

In questo modo la tua disequazione diventa

\log_{10}(x)\left( 1 - \frac{1}{\log_{10}(\left \frac{1}{2}} \right)\right)<0

ora dividendo ambo i membri per

1 - \frac{1}{\log_{10} \left( \frac{1}{2}} \right)

(che è un numero positivo) la disequazione diventa \log_{10}(x)<0 che ha appunto come soluzione 0<x<1.

Al momento non mi viene in mente come sia stato ricavato il passaggio intermedio...Spero di essere stato chiaro. Buono studio!
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Problema con un passaggio in una disequazione logaritmica #40701

avt
Omega
Amministratore
Ciao, quoto in pieno Lorenzo. Il metodo che ha proposto è di certo il più comodo.

Il passaggio

\log_{10}{(x)}<\log_{\frac{1}{2}}{(e)}\log_{10}{(x)}

non si ricava con passaggi diretti dalla disequazione di partenza, bensì si osserva che

A=\log_{\frac{1}{2}}{(e)}>1

e quindi \log_{10}{(x)} è minore di sé stesso per un numero maggiore di 1.

Indipendentemente da come ciò possa giovare nella risoluzione della disequazione, è una strada che non seguirei personalmente.
Ringraziano: Pi Greco
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Os