Equazione goniometrica con somma e differenza di angoli, esercizio

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Equazione goniometrica con somma e differenza di angoli, esercizio #40519

avt
zorro
Punto
Buon pomeriggio, avrei bisogno di un aiuto per risolvere un'equazione goniometrica con la somma e la differenza di angoli. Non riesco a capire come si fa a risolvere quando ci sono due angoli diversi.

Risolvere la seguente equazione goniometrica

2\sqrt{3}\sin\left(\frac{2\pi}{3}-x\right)=2\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+1

Risultato: x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi

Grazie.
 
 

Equazione goniometrica con somma e differenza di angoli, esercizio #40534

avt
Ifrit
Amministratore
Quando gli argomenti delle funzioni periodiche sono diversi è consigliabile procedere o per archi associati, oppure con le formule di addizione o sottrazione del seno e del coseno.

Consideriamo l'equazione

2\sqrt{3}\sin\left(\frac{2\pi}{3}-x\right)=2\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+1

Per fare in modo che il seno e il coseno abbiano il medesimo argomento sfruttiamo le formule di sottrazione.

Per quanto concerne il seno otteniamo l'uguaglianza:

\sin\left(\frac{2\pi}{3}-x\right)=\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\cos(x)-\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\sin(x)=

da cui, esplicitati i valori di seno e coseno di \frac{2\pi}{3}

=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)+\frac{1}{2}\sin(x)

Per quanto concerne il coseno, scriveremo invece:

\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(x)-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(x)=

ossia:

=\frac{\cos(x)}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)

Sostituendo i termini nell'equazione

2\sqrt{3}\sin\left(\frac{2}{3}\pi-x\right)=2\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+1

essa diventa

3\cos(x)+\sqrt{3}\sin(x)=\cos(x) +\sqrt{3}\sin(x)+1

Portando al primo membro seno e coseno e svolgendo i calcoli ci riconduciamo a un'equazione goniometrica elementare in coseno:

2\cos(x)=1\ \ \ \to \  \ \ \cos(x)=\frac{1}{2}

risolta dai valori:

x= \pm \frac{\pi}{3}+2k\pi

dove k è un qualsiasi numero intero.
Ringraziano: Omega
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Os