Equazione goniometrica con somma e differenza di angoli, esercizio

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Equazione goniometrica con somma e differenza di angoli, esercizio #40519

avt
zorro
Punto
Buon pomeriggio, avrei bisogno di un aiuto per risolvere un'equazione goniometrica con la somma e la differenza di angoli. Non riesco a capire come si fa a risolvere quando ci sono due angoli diversi.

Risolvere la seguente equazione goniometrica

2√(3)sin((2π)/(3)-x) = 2cos((π)/(3)-x)+1

Risultato: x = ±(π)/(3)+2kπ

Grazie.
 
 

Equazione goniometrica con somma e differenza di angoli, esercizio #40534

avt
Ifrit
Amministratore
Quando gli argomenti delle funzioni periodiche sono diversi è consigliabile procedere o per archi associati, oppure con le formule di addizione o sottrazione del seno e del coseno.

Consideriamo l'equazione

2√(3)sin((2π)/(3)-x) = 2cos((π)/(3)-x)+1

Per fare in modo che il seno e il coseno abbiano il medesimo argomento sfruttiamo le formule di sottrazione.

Per quanto concerne il seno otteniamo l'uguaglianza:

sin((2π)/(3)-x) = sin((2π)/(3))cos(x)-cos((2π)/(3))sin(x) =

da cui, esplicitati i valori di seno e coseno di (2π)/(3)

= (√(3))/(2)cos(x)+(1)/(2)sin(x)

Per quanto concerne il coseno, scriveremo invece:

cos((π)/(3)-x) = cos((π)/(3))cos(x)+sin((π)/(3))sin(x) =

ossia:

= (cos(x))/(2)+(√(3))/(2)sin(x)

Sostituendo i termini nell'equazione

2√(3)sin((2)/(3)π-x) = 2cos((π)/(3)-x)+1

essa diventa

3cos(x)+√(3)sin(x) = cos(x)+√(3)sin(x)+1

Portando al primo membro seno e coseno e svolgendo i calcoli ci riconduciamo a un'equazione goniometrica elementare in coseno:

2cos(x) = 1 → cos(x) = (1)/(2)

risolta dai valori:

x = ±(π)/(3)+2kπ

dove k è un qualsiasi numero intero.
Ringraziano: Omega
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Os