Sistema di equazioni irrazionali

Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un sistema in due equazioni e in due incognite, caratterizzato dalla presenza di radici quadrate. Come bisogna procedere in questi casi.

Determinare le coppie che soddisfano le equazioni del seguente sistema



Grazie.

Per determinare le eventuali soluzioni del sistema



occorre effettuare alcune osservazioni preliminari. La presenza delle radici quadrate ci obbliga a imporre le condizioni di esistenza: affinché i termini irrazionali siano ben posti, richiediamo che i loro radicandi siano maggiori o al più uguali a zero



Osserviamo che:

- la disequazione individua l'insieme dei punti del piano che hanno ascissa positiva o nulla;

- la disequazione individua l'insieme dei punti del piano che hanno ordinata positiva o nulla;

- la disequazione in due incognite individua l'unione tra il primo e il terzo quadrante del piano cartesiano. Per capire il motivo, è sufficiente ricordare che un prodotto di due fattori è positivo o nullo se e solo se i fattori sono concordi (hanno lo stesso segno) oppure uno dei due è nullo.

Intersecando i tre vincoli, le condizioni di esistenza si riducono a



e individuano esclusivamente il primo quadrante del piano cartesiano.

Noti i vincoli cui devono sottostare le incognite, possiamo occuparci del sistema



che, grazie alla proprietà dei radicali secondo cui la radice del prodotto di quantità positive è uguale al prodotto delle radici di tali quantità, diventa:



A questo punto, operiamo le sostituzioni



attraverso le quali, il sistema precedente si tramuta in



Per ricavare le soluzioni in , sfruttiamo l'equazione lineare per esprimere in termini di :



e rimpiazziamo l'espressione ottenuta nella seconda equazione



La seconda relazione del sistema dipende esclusivamente dall'incognita e prende il nome di risolvente: è un'equazione di secondo grado che possiamo risolvere con le regole standard.

Per prima cosa esprimiamola in forma normale



dopodiché indichiamo con i coefficienti dell'equazione:



per cui il discriminante associato sarà:



Dalla positività del Delta segue che l'equazione in ammette due soluzioni reali e distinte, ricavabili mediante la formula:



Noti i valori che deve assumere occorre determinare corrispettivi valori di avvalendoci della relazione .

Se , l'uguaglianza fornisce il valore



Se , l'uguaglianza fornisce il valore



Finalmente siamo in grado di costruire le seguenti coppie



Attenzione! L'esercizio non è ancora concluso perché dobbiamo ripristinare le incognite originarie tenendo conto delle sostituzioni fatte.

Poiché si tramutano nelle equazioni irrazionali



da cui, elevando al quadrato membro a membro, ricaviamo una coppia che soddisfa il sistema iniziale:



Procediamo allo stesso modo per : esse si traducono nelle equazioni irrazionali



da cui



Finalmente possiamo concludere che le coppie che soddisfano il sistema



sono



Ecco fatto!