Equazione trigonometrica lineare in seno e coseno con angolo aggiunto

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Equazione trigonometrica lineare in seno e coseno con angolo aggiunto #40126

avt
FAQ
Punto
Mi è capitato un esercizio in cui mi si chiede di risolvere un'equazione lineare in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiunto. Sinceramente è la prima volta che sento nominare questa procedura, in cosa consiste? Potreste darmi una mano per favore?

Risolvere la seguente equazione goniometrica lineare utilizzando il metodo dell'angolo aggiunto

\sin(x)-\cos(x)=\sqrt{2}

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Manila, Ifrit, xavier310, Volpi, danying, DurdenP, JACKBO, Pulga10...
 
 

Equazione trigonometrica lineare in seno e coseno con angolo aggiunto #40301

avt
Omega
Amministratore
Per poter risolvere l'equazione lineare in seno e coseno

\sin(x)-\cos(x)=\sqrt{2}

possiamo avvalerci del metodo dell'angolo aggiunto che consiste nel determinare un numero reale non negativo R e un angolo \phi, compreso tra 0\ \mbox{e} \ 2\pi, di modo che si possa ricavare l'equazione equivalente

R\sin(x+\phi)=\sqrt{2}

Indicati con A\ \mbox{e} \ B rispettivamente i coefficienti di seno e coseno, il numero reale R si calcola con la formula

R=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}

mentre \phi è l'unico angolo compreso tra 0\ \mbox{e} \ 2\pi che realizza il sistema di equazioni

\begin{cases}\sin(\phi)=\dfrac{B}{R}\\ \\ \cos(\phi)=\dfrac{A}{R}\end{cases}

vale a dire

\begin{cases}\sin(\phi)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \cos(\phi)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}

L'unico angolo dell'intervallo [0,2\pi) che soddisfa il sistema è

\phi=\frac{7\pi}{4}

]Siamo quindi autorizzati a scrivere l'equazione goniometrica elementare in seno equivalente, che è

\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{7\pi}{4}\right)=\sqrt{2}

da cui

\sin\left(x+\frac{7\pi}{4}\right)=1

Ricordiamo che il seno di un angolo è pari a 1 se l'angolo vale

\frac{\pi}{2}+2k\pi

dove k è un numero intero, per cui a

\sin\left(x+\frac{7\pi}{4}\right)=1

possiamo associare l'equazione di primo grado nell'incognita x

x+\frac{7\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi

che possiamo risolvere isolando l'incognita al primo membro

\\ x=-\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}+2k\pi\\ \\ x=-\frac{5\pi}{4}+2k\pi

al variare di k\in\mathbb{Z}.

È opportuno sottolineare che la famiglia di soluzioni

x=-\frac{5\pi}{4}+2k\pi

può essere espressa in maniera del tutto equivalente come

x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

I due angoli

-\frac{5\pi}{4}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ \frac{3\pi}{4}

differiscono infatti di 2\pi, pertanto possono essere entrambi considerati rappresentanti della famiglia.

Possiamo concludere dunque che

\sin(x)-\cos(x)=\sqrt{2}

è soddisfatta dai valori

x=-\frac{5\pi}{4}+2k\pi

o in maniera equivalente

x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

al variare di k\in\mathbb{Z}.

Ecco fatto!
Ringraziano: Ifrit
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Os