Equazione di secondo grado con modulo

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Equazione di secondo grado con modulo #39747

avt
Stella
Punto
Non ho capito come si fanno le equazioni con modulo (o valore assoluto) che si riconducono a equazioni di secondo grado. Ho provato a risolverne una, ma mi sono perso nei calcoli.

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione con valore assoluto

x^2+3|x+2|=-3

Ogni aiuto è ben accetto.
 
 

Equazione di secondo grado con modulo #39756

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo l'equazione con valore assoluto

x^2+3|x+2|=-3

e risolviamola analizzando il segno dell'espressione all'interno del modulo.

x+2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -2

quindi:

- se x\ge -2, l'argomento x+2 è positivo o al più nullo, e in accordo con la definizione di modulo, sussiste l'uguaglianza

|x+2|=x+2 \ \ \ \mbox{per} \ x\ge -2

dunque l'equazione diventa

x^2+3(x+2)=-3

vale a dire

\\ x^2+3x+6+3=0 \\ \\ x^2+3x+9=0

- Se x<-2, l'argomento x+2 è negativo e in questa circostanza possiamo eliminare il modulo a patto di cambiare i segni dell'espressione al suo interno

|x+2|=-x-2 \ \ \ \mbox{per}\ x<-2

Pertanto l'equazione data diventa

\\ x^2+3(-x-2)=-3 \\ \\ x^2-3x-6+3=0 \\ \\ x^2-3x-3=0

L'equazione con valore assoluto ha come soluzioni quelle dei due sistemi

\begin{cases}x\ge -2 \\ \\ x^2+3x+9=0\end{cases} \ \ \ ; \ \ \ \begin{cases}x<-2\\ \\ x^2-3x-3=0\end{cases}

A questo punto risolviamo le equazioni di secondo grado presenti, iniziando dalla prima

x^2+3x+9=0

Se ne calcoliamo il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot 9<0

ci accorgiamo che esso è negativo, di conseguenza l'equazione di secondo grado è impossibile e il primo sistema non ammette soluzioni.

Analizziamo l'equazione di secondo grado del secondo sistema

x^2-3x-3=0

Indicati con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto, calcoliamo il discriminante a essa associato

\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-3)=21

e determiniamo inoltre le soluzioni con la relazione

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{21}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}=\begin{cases}\frac{3-\sqrt{21}}{2}=x_1\\ \\ \frac{3+\sqrt{21}}{2}=x_2\end{cases}

Le soluzioni della equazione di secondo grado però non soddisfano la condizione del sistema

x<-2

quindi anche il secondo sistema non ha soluzioni.

Possiamo concludere che l'equazione

x^2+3|x+2|=-3

è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto

S=\emptyset

Approfondimento

Lo potevamo vedere subito che l'equazione non ammette soluzioni. Osserviamo infatti che isolando |x+2| al primo membro, avremmo ricavato l'equazione equivalente:

|x+2|=\frac{-x^2-3}{3}

Il primo membro è necessariamente non negativo, mentre il secondo è negativo: l'uguaglianza non può sussistere perché i due membri non possono assumere il medesimo segno.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Stella
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Os