Equazione di secondo grado con modulo

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#39747
avt
Stella
Punto

Non ho capito come si fanno le equazioni con modulo (o valore assoluto) che si riconducono a equazioni di secondo grado. Ho provato a risolverne una, ma mi sono perso nei calcoli.

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione con valore assoluto

x^2+3|x+2| = −3

Ogni aiuto è ben accetto.

#39756
avt
Ifrit
Amministratore

Consideriamo l'equazione con valore assoluto

x^2+3|x+2| = −3

e risolviamola analizzando il segno dell'espressione all'interno del modulo.

x+2 ≥ 0 → x ≥ −2

quindi:

- se x ≥ −2, l'argomento x+2 è positivo o al più nullo, e in accordo con la definizione di modulo, sussiste l'uguaglianza

|x+2| = x+2 per x ≥ −2

dunque l'equazione diventa

x^2+3(x+2) = −3

vale a dire

x^2+3x+6+3 = 0 ; x^2+3x+9 = 0

- Se x < −2, l'argomento x+2 è negativo e in questa circostanza possiamo eliminare il modulo a patto di cambiare i segni dell'espressione al suo interno

|x+2| = −x−2 per x < −2

Pertanto l'equazione data diventa

x^2+3(−x−2) = −3 ; x^2−3x−6+3 = 0 ; x^2−3x−3 = 0

L'equazione con valore assoluto ha come soluzioni quelle dei due sistemi

x ≥ −2 ; x^2+3x+9 = 0 ; x < −2 ; x^2−3x−3 = 0

A questo punto risolviamo le equazioni di secondo grado presenti, iniziando dalla prima

x^2+3x+9 = 0

Se ne calcoliamo il discriminante associato con la formula

Δ = b^2−4ac = 3^2−4·1·9 < 0

ci accorgiamo che esso è negativo, di conseguenza l'equazione di secondo grado è impossibile e il primo sistema non ammette soluzioni.

Analizziamo l'equazione di secondo grado del secondo sistema

x^2−3x−3 = 0

Indicati con a, b e c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto, calcoliamo il discriminante a essa associato

Δ = b^2−4ac = (−3)^2−4·1·(−3) = 21

e determiniamo inoltre le soluzioni con la relazione

x_(1,2) = (−b±√(Δ))/(2a) = (−(−3)±√(21))/(2) = (3±√(21))/(2) = (3−√(21))/(2) = x_1 ; (3+√(21))/(2) = x_2

Le soluzioni della equazione di secondo grado però non soddisfano la condizione del sistema

x < −2

quindi anche il secondo sistema non ha soluzioni.

Possiamo concludere che l'equazione

x^2+3|x+2| = −3

è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto

S = Ø

Approfondimento

Lo potevamo vedere subito che l'equazione non ammette soluzioni. Osserviamo infatti che isolando |x+2| al primo membro, avremmo ricavato l'equazione equivalente:

|x+2| = (−x^2−3)/(3)

Il primo membro è necessariamente non negativo, mentre il secondo è negativo: l'uguaglianza non può sussistere perché i due membri non possono assumere il medesimo segno.

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Stella
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