Equazione di secondo grado con modulo

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Equazione di secondo grado con modulo #39747

Stella Punto	Non ho capito come si fanno le equazioni con modulo (o valore assoluto) che si riconducono a equazioni di secondo grado. Ho provato a risolverne una, ma mi sono perso nei calcoli. Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione con valore assoluto Ogni aiuto è ben accetto.

Equazione di secondo grado con modulo #39756

Ifrit

Amministratore

Consideriamo l'equazione con valore assoluto

e risolviamola analizzando il segno dell'espressione all'interno del modulo.

$x+2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -2$

quindi:

- se $x\ge -2$ , l'argomento

è positivo o al più nullo, e in accordo con la definizione di modulo, sussiste l'uguaglianza

$|x+2|=x+2 \ \ \ \mbox{per} \ x\ge -2$

dunque l'equazione diventa

vale a dire

$\\ x^2+3x+6+3=0 \\ \\ x^2+3x+9=0$

- Se

, l'argomento

è negativo e in questa circostanza possiamo eliminare il modulo a patto di cambiare i segni dell'espressione al suo interno

$|x+2|=-x-2 \ \ \ \mbox{per}\ x<-2$

Pertanto l'equazione data diventa

$\\ x^2+3(-x-2)=-3 \\ \\ x^2-3x-6+3=0 \\ \\ x^2-3x-3=0$

L'equazione con valore assoluto ha come soluzioni quelle dei due sistemi

$\begin{cases}x\ge -2 \\ \\ x^2+3x+9=0\end{cases} \ \ \ ; \ \ \ \begin{cases}x<-2\\ \\ x^2-3x-3=0\end{cases}$

A questo punto risolviamo le equazioni di secondo grado presenti, iniziando dalla prima

Se ne calcoliamo il discriminante associato con la formula

$\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot 9<0$

ci accorgiamo che esso è negativo, di conseguenza l'equazione di secondo grado è impossibile e il primo sistema non ammette soluzioni.

Analizziamo l'equazione di secondo grado del secondo sistema

Indicati con $a, \ b \ \mbox{e} \ c$ rispettivamente il coefficiente di

, quello di

e il termine noto, calcoliamo il discriminante a essa associato

$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-3)=21$

e determiniamo inoltre le soluzioni con la relazione

$\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{21}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}=\begin{cases}\frac{3-\sqrt{21}}{2}=x_1\\ \\ \frac{3+\sqrt{21}}{2}=x_2\end{cases}$

Le soluzioni della equazione di secondo grado però non soddisfano la condizione del sistema

quindi anche il secondo sistema non ha soluzioni.

Possiamo concludere che l'equazione

è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto

$S=\emptyset$

Approfondimento

Lo potevamo vedere subito che l'equazione non ammette soluzioni. Osserviamo infatti che isolando

al primo membro, avremmo ricavato l'equazione equivalente:

$|x+2|=\frac{-x^2-3}{3}$

Il primo membro è necessariamente non negativo, mentre il secondo è negativo: l'uguaglianza non può sussistere perché i due membri non possono assumere il medesimo segno.

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Stella

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