Disequazione irrazionale fratta, esercizio

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#39551
avt
depe_
Cerchio

Ciao a tutti, non riesco a risolvere questa disequazione fratta irrazionale:

(√(x+1)+√(4x+3))/(√(x+1)−√(4x+3)) ≥ 1

Dopo aver trasportato l'uno a destra e aver fatto il denominatore comune mi blocco. Chi mi può dare una mano?

#39570
avt
Ifrit
Amministratore

Ciao depe_ emt

Abbiamo la disequazione:

(√(x+1)+√(4x+3))/(√(x+1)−√(4x+3)) ≥ 1

Dobbiamo determinare il campo d'esistenza che è dettato dalle condizioni:

x+1 ≥ 0 ; 4x+3 ≥ 0 ; √(x+1)−√(4x+3) ne 0

Risolvendo il sistema avremo che:

C.E = (−(3)/(4),−(2)/(3)) U (−(2)/(3),+∞)

Moltiplichiamo e dividiamo per √(x+1)+√(4x+3) in modo da razionalizzare la frazione

((√(x+1)+√(4x+3))(√(x+1)+√(4x+3)))/((√(x+1)−√(4x+3))(√(x+1)+√(4x+3))) ≥ 1

Il denominatore è un prodotto tra una somma e una differenza:

((√(x+1)+√(4x+3))(√(x+1)+√(4x+3)))/(−3x−2) ≥ 1

Sviluppando i conti al numeratore (può essere ricondotto ad un quadrato di binomio)

(4+5x+2√((1+x)(3+4x)))/(−3x−2) ≥ 1

(4+5x+2√((1+x)(3+4x)))/(−3x−2)−1 ≥ 0

Minimo comune multiplo:

(4+5x+2√((1+x)(3+4x))+3x+2)/(−3x−2) ≥ 0

Sommiamo i termini simili:

(6+8x+2√((1+x)(3+4x)))/(−3x−2) ≥ 0

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore, in accordo con il procedimento per la risoluzione delle disequazioni fratte

6+8x+2√(3+7x+4x^2) ≥ 0 ⇔

√(3+7x+4x^2) ≥ −3−4x

E' una disequazione irrazionale fratta ed equivale ai sistemi:

3+7x+4x^2 ≥ 0 ;−3−4x ≥ 0 ; 3+7x+4x^2 ≥ (−3−4x)^2 U −3−4x < 0 ; 3+7x+4x^2 ≥ 0

Il primo sistema ha per insieme soluzione x = −(3)/(4)

Il secondo sistema invece: x > −(3)/(4)

In definitiva

S_1 = [−(3)/(4),+∞)

Il segno del denominatore è invece immediato:

−3x−2 > 0 ⇔ x < −(2)/(3)

Tabulando i segni otterrai che la soluzione è:

−(3)/(4) ≤ x < −(2)/(3)

Ringraziano: Omega, Pi Greco
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