Disequazione irrazionale fratta, esercizio

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Disequazione irrazionale fratta, esercizio #39551

avt
depe_
Cerchio
Ciao a tutti, non riesco a risolvere questa disequazione fratta irrazionale:

\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{4x+3}}\ge 1

Dopo aver trasportato l'uno a destra e aver fatto il denominatore comune mi blocco. Chi mi può dare una mano?
 
 

Disequazione irrazionale fratta, esercizio #39570

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao depe_ emt

Abbiamo la disequazione:

\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{4x+3}}\ge 1

Dobbiamo determinare il campo d'esistenza che è dettato dalle condizioni:

\begin{cases}x+1\ge 0\\4x+3\ge 0\\ \sqrt{x+1}-\sqrt{4x+3}\ne 0\end{cases}

Risolvendo il sistema avremo che:

C.E= \left(-\frac{3}{4}, -\frac{2}{3}\right)\cup \left(-\frac{2}{3},+\infty\right)

Moltiplichiamo e dividiamo per \sqrt{x+1}+\sqrt{4x+3} in modo da razionalizzare la frazione

\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+3})(\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+3})}{(\sqrt{x+1}-\sqrt{4x+3})(\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+3})}\ge 1

Il denominatore è un prodotto tra una somma e una differenza:

\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+3})(\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+3})}{-3x-2}\ge 1

Sviluppando i conti al numeratore (può essere ricondotto ad un quadrato di binomio)

\frac{4+5x+2\sqrt{(1+x)(3+4x)}}{-3x-2}\ge 1

\frac{4+5x+2\sqrt{(1+x)(3+4x)}}{-3x-2}-1\ge 0

Minimo comune multiplo:

\frac{4+5x+2\sqrt{(1+x)(3+4x)}+3x+2}{-3x-2}\ge 0

Sommiamo i termini simili:

\frac{6+8x+2\sqrt{(1+x)(3+4x)}}{-3x-2}\ge 0

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore, in accordo con il procedimento per la risoluzione delle disequazioni fratte

6+8x+2\sqrt{(3+7x+4x^2)}\ge 0\iff

\sqrt{3+7x+4x^2}\ge -3-4x

E' una disequazione irrazionale fratta ed equivale ai sistemi:

\begin{cases}3+7x+4x^2\ge 0\\ -3-4x\ge 0\\ 3+7x+4x^2\ge (-3-4x)^2\end{cases}\cup \begin{cases}-3-4x<0\\ 3+7x+4x^2\ge 0\end{cases}

Il primo sistema ha per insieme soluzione x= -\frac{3}{4}

Il secondo sistema invece: x>-\frac{3}{4}

In definitiva

S_1=\left[-\frac{3}{4}, +\infty\right)

Il segno del denominatore è invece immediato:

-3x-2>0\iff x<-\frac{2}{3}

Tabulando i segni otterrai che la soluzione è:

-\frac{3}{4}\le x<-\frac{2}{3}
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os