Sistema di equazioni fratte #39352

avt
DurdenP
Cerchio
Mi è capitato un esercizio in cui mi viene chiesto di risolvere un sistema di equazioni fratte in due incognite. Dopo aver imposto le condizioni di esistenza e dopo aver eseguito un numero spropositato di calcoli, non riesco a determinare le coppie che soddisfano le equazioni.

Risolvere il seguente sistema di equazioni fratte

\begin{cases}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=0 \\ \\ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-x=0\end{cases}

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, xavier310, Volpi, kameor, matteo, angiolet89, watson
 
 

Sistema di equazioni fratte #42354

avt
watson
Frattale
Il nostro compito consiste nel determinare le eventuali coppie ordinate (x,y) le cui coordinate x\ \mbox{e} \ y soddisfano contemporaneamente le equazioni del sistema fratto

\begin{cases}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=0 \\ \\ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-x=0\end{cases}

Prima di avventurarci nei calcoli occorre però imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori contenenti una o più incognite siano diversi da zero.

C.E.\ : \ x\ne 0 \ \ \ \vee \ \ \ y\ne 0

dove \vee è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "o" (disgiunzione inclusiva).

Una volta imposti i vincoli sotto i quali il sistema ha senso, possiamo eseguire gli opportuni passaggi algebrici che consentono di esprimere il sistema in forma normale. Esprimiamo le equazioni a denominatore comune

\begin{cases}\dfrac{y-x}{x y}=0 \\ \\ \dfrac{x^2+y^2-yx^2}{yx}=0\end{cases}

dopodiché moltiplichiamo i membri delle equazioni per xy

\begin{cases}y-x=0 \\ \\ x^2+y^2-yx^2=0\end{cases}

Ci siamo ricondotti a un sistema polinomiale di terzo grado (è di terzo grado la seconda equazione) che possiamo risolvere sfruttando l'equazione lineare y-x=0 che consente di esprimere - ad esempio - l'incognita y in termini di x

\begin{cases}y=x \\ \\ x^2+y^2-yx^2=0\end{cases}

Una volta sostituita l'espressione nella seconda equazione, il sistema diventa

\begin{cases}y=x \\ \\ x^2+x^2-x\cdot x^2=0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}y=x\\ \\ 2x^2-x^3=0\end{cases}

Osservazione: la relazione

2x^2-x^3=0

è a conti fatti la risolvente del sistema e le sue soluzioni costituiscono eventualmente le ascisse delle coppie soluzione (x,y). Notiamo inoltre che essa è un'equazione di grado superiore al secondo e per ricavare le sue soluzioni occorre procedere con la tecnica del raccoglimento totale e avvalersi della legge di annullamento del prodotto.

Se mettiamo in evidenza x^2, l'equazione

2x^2-x^3=0

diventa

x^2(2-x)=0

e in virtù della legge di annullamento del prodotto, l'equazione si spezza nelle seguenti:

x^2=0 \ \ \ \vee \ \ \ 2-x=0

da cui

x=0 \ \ \ \vee \ \ \ x=2

Mettiamo subito in chiaro che x=0 non produce alcuna coppia soluzione giacché nelle condizioni di esistenza avevamo richiesto che la non nullità dell'incognita in questione.

A x=2 possiamo, invece, associare il corrispettivo valore di y: è sufficiente sostituire x=2 nella relazione y=x

x=2\ \ \ \to \ \ \ y=2

I due valori formano la coppia (x,y)=(2,2) che rappresenta l'unica soluzione del sistema dato.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, DurdenP
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Os