Sistema di equazioni fratte #39352

avt
DurdenP
Cerchio
Mi è capitato un esercizio in cui mi viene chiesto di risolvere un sistema di equazioni fratte in due incognite. Dopo aver imposto le condizioni di esistenza e dopo aver eseguito un numero spropositato di calcoli, non riesco a determinare le coppie che soddisfano le equazioni.

Risolvere il seguente sistema di equazioni fratte

(1)/(x)-(1)/(y) = 0 ; (x)/(y)+(y)/(x)-x = 0

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, xavier310, Volpi, kameor, matteo, angiolet89, watson
 
 

Sistema di equazioni fratte #42354

avt
watson
Frattale
Il nostro compito consiste nel determinare le eventuali coppie ordinate (x,y) le cui coordinate x e y soddisfano contemporaneamente le equazioni del sistema fratto

(1)/(x)-(1)/(y) = 0 ; (x)/(y)+(y)/(x)-x = 0

Prima di avventurarci nei calcoli occorre però imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori contenenti una o più incognite siano diversi da zero.

C.E. : x ne 0 ∨ y ne 0

dove ∨ è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "o" (disgiunzione inclusiva).

Una volta imposti i vincoli sotto i quali il sistema ha senso, possiamo eseguire gli opportuni passaggi algebrici che consentono di esprimere il sistema in forma normale. Esprimiamo le equazioni a denominatore comune

(y-x)/(x y) = 0 ; (x^2+y^2-yx^2)/(yx) = 0

dopodiché moltiplichiamo i membri delle equazioni per xy

y-x = 0 ; x^2+y^2-yx^2 = 0

Ci siamo ricondotti a un sistema polinomiale di terzo grado (è di terzo grado la seconda equazione) che possiamo risolvere sfruttando l'equazione lineare y-x = 0 che consente di esprimere - ad esempio - l'incognita y in termini di x

y = x ; x^2+y^2-yx^2 = 0

Una volta sostituita l'espressione nella seconda equazione, il sistema diventa

y = x ; x^2+x^2-x·x^2 = 0 → y = x ; 2x^2-x^3 = 0

Osservazione: la relazione

2x^2-x^3 = 0

è a conti fatti la risolvente del sistema e le sue soluzioni costituiscono eventualmente le ascisse delle coppie soluzione (x,y). Notiamo inoltre che essa è un'equazione di grado superiore al secondo e per ricavare le sue soluzioni occorre procedere con la tecnica del raccoglimento totale e avvalersi della legge di annullamento del prodotto.

Se mettiamo in evidenza x^2, l'equazione

2x^2-x^3 = 0

diventa

x^2(2-x) = 0

e in virtù della legge di annullamento del prodotto, l'equazione si spezza nelle seguenti:

x^2 = 0 ∨ 2-x = 0

da cui

x = 0 ∨ x = 2

Mettiamo subito in chiaro che x = 0 non produce alcuna coppia soluzione giacché nelle condizioni di esistenza avevamo richiesto che la non nullità dell'incognita in questione.

A x = 2 possiamo, invece, associare il corrispettivo valore di y: è sufficiente sostituire x = 2 nella relazione y = x

x = 2 → y = 2

I due valori formano la coppia (x,y) = (2,2) che rappresenta l'unica soluzione del sistema dato.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, DurdenP
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Os