Equazione trigonometrica elementare con cos(5x)

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Equazione trigonometrica elementare con cos(5x) #39201

avt
Bustedd
Cerchio
Ho una semplice equazione goniometrica elementare che però non so risolvere perché il prof non ci ha spiegato come si fa.

Calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica elementare

2\cos(5x)+\sqrt{2}=0

Risultato:

x=\frac{3\pi}{20}+\frac{2k\pi}{5} \ \ \vee \ \ x=\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{5}

al variare di k\in\mathbb{Z}.

Grazie!
 
 

Equazione trigonometrica elementare con cos(5x) #39211

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per risolvere l'equazione goniometrica elementare

2\cos(5x)+\sqrt{2}=0

procediamo con una semplicissima sostituzione: poniamo t=5x cosicché l'equazione diventi

2\cos(t)+\sqrt{2}=0

Scriviamo l'equazione in forma canonica, isolando il coseno al primo membro:

\cos(t)=-\frac{\sqrt{2}}{2}

In accordo con la definizione di coseno, rappresentiamo la circonferenza goniometrica, la retta di equazione x=-\frac{\sqrt{2}}{2} e i due angoli che si verranno a formare. Essi rappresenteranno le soluzioni base, mediante le quali ricaveremo tutte le altre sfruttando la periodicità del coseno

t=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ t=\frac{5\pi}{4}+2k\pi

A questo punto possiamo ripristinare l'incognita x tenendo conto della sostituzione t=5x, con cui le precedenti relazioni si traducono nelle equazioni di primo grado nell'incognita x:

5x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ 5x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi

da cui, dividendo i due membri per 5, ricaviamo le soluzioni:

x=\frac{3\pi}{20}+\frac{2k\pi}{5} \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{5}

al variare di k\in\mathbb{Z}.

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Bustedd, CarFaby
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Os