Fattorizzare un polinomio con l'identità di Sophie Germain

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Fattorizzare un polinomio con l'identità di Sophie Germain #39070

avt
DevilWorrins
Cerchio
Mi servirebbe il vostro aiuto per scomporre la somma di due potenze quarte nel prodotto di polinomi a coefficienti reali. Purtroppo non capisco quale possa essere la tecnica di scomposizione da usare. Potreste darmi una mano per favore?

Fattorizzare il seguente polinomio nel prodotto di polinomi a coefficienti reali.

16x^4+36y^4

Grazie.
 
 

Fattorizzare un polinomio con l'identità di Sophie Germain #39080

avt
Omega
Amministratore
Il binomio

16x^4+36y^4=

può essere scomposto con la medesima tecnica utilizzata per somma di potenze quarte. Il primo passaggio consiste nell'usare le proprietà delle potenze per rielaborare il polinomio nella somma di due quadrati. Ciò è possibile perché 16x^4 è il quadrato di 4x^2, mentre 36y^4 è il quadrato di 6y^2, per cui il polinomio dato diviene:

=(4x^2)^2+(6y^2)^2=

A questo punto aggiungiamo e sottraiamo il doppio prodotto delle basi 4x^2\ \mbox{e} \ 6y^2, ossia 48x^2y^2, in modo da completare il quadrato di 4x^2+6y^2

=(4x^2)^2+(6y^2)^2+48x^2y^2-48x^2y^2=

Proprio perché i primi tre termini costituiscono il quadrato del binomio 4x^2+6y^2, li rimpiazziamo con (4x^2+6y^2)^2

=(4x^2+6y^2)^2-48x^2y^2=

Sfruttando inoltre le proprietà dei radicali, possiamo scrivere 48 come il quadrato di \sqrt{48}=4\sqrt{3} e interpretare l'espressione precedente come differenza di due quadrati: quello di 4x^2+6y^2 e quello di 4\sqrt{3}xy

=(4x^2+6y^2)^2-(4\sqrt{3}xy)^2=

In base all'omonima tecnica di scomposizione, possiamo fattorizzare questa differenza nel prodotto della somma tra 4x^2+6y^2\ \mbox{e} \ 4\sqrt{3}xy per la loro differenza.

=(4x^2+6y^2+4\sqrt{3}x y)(4x^2+6y^2-4\sqrt{3}xy)=

Osserviamo infine che sia i termini del primo fattore sia quelli del secondo condividono il fattore comune 2: mettendoli in evidenza, ricaviamo l'espressione

\\ =2(2x^2+3y^2+2\sqrt{3}x y)\cdot 2(2x^2+3y^2-2\sqrt{3}xy)= \\ \\ =4(2x^2+3y^2+2\sqrt{3}x y)(2x^2+3y^2-2\sqrt{3}xy)

Ecco fatto.
Ringraziano: Pi Greco
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Os