Sistema di equazioni fratte e irrazionali

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Sistema di equazioni fratte e irrazionali #38972

avt
DurdenP
Cerchio
Mi è capitato un sistema di equazioni irrazionali fratte e in due incognite che non sono in grado di risolvere. Dopo aver imposto le condizioni di esistenza, mi blocco per via dei termini irrazionali ai denominatori.

Determinare le soluzioni del seguente sistema di equazioni irrazionali

\begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{x+y}}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}=0\end{cases}

Grazie.
Ringraziano: Omega
 
 

Sistema di equazioni fratte e irrazionali #38975

avt
Ifrit
Amministratore
Per determinare le coppie che soddisfano le equazioni del sistema non lineare

\begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{x+y}}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}=0\end{cases}

bisogna innanzitutto determinare le condizioni di esistenza che garantiscono la buona posizione delle equazioni: richiederemo sia la non negatività dei radicandi sia la non nullità dei denominatori.

Affinché il termine fratto \frac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}} sia ben posto, imporremo i seguenti vincoli:

x\ge 0\ \ \ , \ \ \ y-1\ge 0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \sqrt{x}+2\sqrt{y-1}\ne 0

L'ultima disuguaglianza equivale a richiedere che i radicandi x\ \mbox{e} \ y-1 non siano contemporaneamente non nulli: ciò è dovuto al fatto che la somma di due quantità non negative è non nulla se e solo se almeno uno degli addendi è diverso da zero.

\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ (x,y)\ne (0, 1)\ \ \ \mbox{con} \ x\ge 0 \ \mbox{e} \ y\ge 1

Affinché sia ben posto il termine \frac{1}{\sqrt{x+y}}, imporremo i vincoli

x+y\ge 0 \ \ \ \wedge \ \ \ \sqrt{x+y}\ne 0

che si riassumono nell'unica condizione x+y>0.

Affinché sia ben posto il termine \frac{1}{\sqrt{y}} richiederemo che y sia soggetto ai vincoli

y\ge 0 \ \ \ \wedge \ \ \ y\ne 0

che si riducono all'unica condizione y>0.

Osservazione di carattere geometrico.

Esaminiamo singolarmente i vincoli che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni dal punto di vista geometrico così da semplificarle ulteriormente.

Il vincolo x\ge 0 individua l'insieme dei punti del piano cartesiano aventi ascissa positiva o al più nulla.

Il vincolo y\ge 1 individua l'insieme dei punti del piano aventi ordinata maggiore o al più uguale a 1: sono quei punti che giacciono al di sopra della retta orizzontale di equazione y=1.

Il vincolo

(x,y)\ne (0,1)\ \ \ \mbox{con} \ x\ge 0 \ \mbox{e}\ y\ge 1

identifica l'insieme dei punti del primo quadrante che giacciono al di sopra della retta di equazione y=1, eccezion fatta per il punto (0,1).

Il vincolo x+y>0 può essere riespresso nella forma equivalente y>-x e identifica tutti i punti del piano cartesiano che giacciono al di sopra della retta di equazione y=-x (bisettrice del secondo e quarto quadrante)

Aiutandoci con la rappresentazione grafica, scopriamo che l'insieme di esistenza delle soluzioni è definito attraverso le seguenti condizioni:

C.E.\ : \ (x=0 \ \wedge \ y>1) \ \vee \ (x>0 \ \wedge \ y\ge 1)

Sotto tali vincoli siamo autorizzati a svolgere i passaggi algebrici sul sistema

\begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{x+y}}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}=0\end{cases}

così da renderlo in forma normale. Per quanto concerne la prima equazione, possiamo passare tranquillamente ai reciproci

\begin{cases}\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}=\sqrt{2}\\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{x+y}}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}=0\end{cases}

Per esprimere la seconda equazione in forma normale, invece, isoliamo un termine a sinistra dell'uguale, ad esempio \frac{1}{\sqrt{x+y}}

\begin{cases}\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}=\sqrt{2}\\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{x+y}}=\dfrac{1}{\sqrt{y}}\end{cases}

dopodiché passiamo ai reciproci

\begin{cases}\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}=\sqrt{2}\\ \\ \sqrt{x+y}=\sqrt{y}\end{cases}

Delle due equazioni irrazionali in due incognite, la seconda è quella più semplice da trattare: basta infatti elevare al quadrato i due membri così da sbarazzarci delle radici quadrate

\begin{cases}\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}=\sqrt{2}\\ \\ x+y=y\end{cases}

Una volta eliminata y, la seconda relazione diventa semplicemente x=0 e operando la sostituzione nella prima, il sistema si tramuta nel seguente:

\begin{cases}2\sqrt{y-1}=\sqrt{2}\\ \\ x=0\end{cases}

Concentriamoci sull'equazione irrazionale nell'incognita y, ossia su

2\sqrt{y-1}=\sqrt{2}

Dividiamo i due membri per 2

\sqrt{y-1}=\frac{\sqrt{2}}{2}

ed eleviamo al quadrato sia il primo che il secondo membro per semplificare le radici quadrate.

y-1=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \ \ \ \to \ \ \ y=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}

La coppia (x,y)=\left(0,\frac{3}{2}\right) soddisfa le condizioni di esistenza ed è pertanto soluzione del sistema dato. Per accertarcene, verifichiamo che le coordinate del punto soddisfano le due equazioni.

Se rimpiazziamo x con 0 e y con \frac{3}{2}, la relazione

\dfrac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

diventa

\frac{1}{\sqrt{0}+2\sqrt{\frac{3}{2}-1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

da cui svolgendo i calcoli segue l'identità

\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

Se effettuiamo la medesima sostituzione nella relazione

\dfrac{1}{\sqrt{x+y}}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}=0

ricaviamo l'identità

\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}}=0

Alla luce delle considerazioni precedenti, possiamo affermare che (x,y)=\left(0,\frac{3}{2}\right) è (l'unica) soluzione del sistema dato.
Ringraziano: Omega, DurdenP
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Os