Sistema di equazioni fratte e irrazionali

Mi è capitato un sistema di equazioni irrazionali fratte e in due incognite che non sono in grado di risolvere. Dopo aver imposto le condizioni di esistenza, mi blocco per via dei termini irrazionali ai denominatori.

Determinare le soluzioni del seguente sistema di equazioni irrazionali



Grazie.

Per determinare le coppie che soddisfano le equazioni del sistema non lineare



bisogna innanzitutto determinare le condizioni di esistenza che garantiscono la buona posizione delle equazioni: richiederemo sia la non negatività dei radicandi sia la non nullità dei denominatori.

Affinché il termine fratto sia ben posto, imporremo i seguenti vincoli:



L'ultima disuguaglianza equivale a richiedere che i radicandi non siano contemporaneamente non nulli: ciò è dovuto al fatto che la somma di due quantità non negative è non nulla se e solo se almeno uno degli addendi è diverso da zero.



Affinché sia ben posto il termine , imporremo i vincoli



che si riassumono nell'unica condizione .

Affinché sia ben posto il termine richiederemo che sia soggetto ai vincoli



che si riducono all'unica condizione .

Osservazione di carattere geometrico.

Esaminiamo singolarmente i vincoli che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni dal punto di vista geometrico così da semplificarle ulteriormente.

Il vincolo individua l'insieme dei punti del piano cartesiano aventi ascissa positiva o al più nulla.

Il vincolo individua l'insieme dei punti del piano aventi ordinata maggiore o al più uguale a 1: sono quei punti che giacciono al di sopra della retta orizzontale di equazione .

Il vincolo



identifica l'insieme dei punti del primo quadrante che giacciono al di sopra della retta di equazione , eccezion fatta per il punto .

Il vincolo può essere riespresso nella forma equivalente e identifica tutti i punti del piano cartesiano che giacciono al di sopra della retta di equazione (bisettrice del secondo e quarto quadrante)

Aiutandoci con la rappresentazione grafica, scopriamo che l'insieme di esistenza delle soluzioni è definito attraverso le seguenti condizioni:



Sotto tali vincoli siamo autorizzati a svolgere i passaggi algebrici sul sistema



così da renderlo in forma normale. Per quanto concerne la prima equazione, possiamo passare tranquillamente ai reciproci



Per esprimere la seconda equazione in forma normale, invece, isoliamo un termine a sinistra dell'uguale, ad esempio



dopodiché passiamo ai reciproci



Delle due equazioni irrazionali in due incognite, la seconda è quella più semplice da trattare: basta infatti elevare al quadrato i due membri così da sbarazzarci delle radici quadrate



Una volta eliminata , la seconda relazione diventa semplicemente e operando la sostituzione nella prima, il sistema si tramuta nel seguente:



Concentriamoci sull'equazione irrazionale nell'incognita , ossia su



Dividiamo i due membri per



ed eleviamo al quadrato sia il primo che il secondo membro per semplificare le radici quadrate.



La coppia soddisfa le condizioni di esistenza ed è pertanto soluzione del sistema dato. Per accertarcene, verifichiamo che le coordinate del punto soddisfano le due equazioni.

Se rimpiazziamo con 0 e con , la relazione



diventa



da cui svolgendo i calcoli segue l'identità



Se effettuiamo la medesima sostituzione nella relazione



ricaviamo l'identità



Alla luce delle considerazioni precedenti, possiamo affermare che è (l'unica) soluzione del sistema dato.