Sistema di equazioni con equazione esponenziale

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Sistema di equazioni con equazione esponenziale #38946

avt
DurdenP
Cerchio
Ho da poco iniziato i sistemi di equazioni esponenziali in due incognite e, nonostante abbia studiato la teoria, riscontro già diverse difficoltà nello svolgere gli esercizi. Mi rivolgo a voi per risolvere un esercizio nella speranza di capire cosa bisogna fare.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato al seguente sistema

\begin{cases}2x+y=3 \\ \\ 2^{x-y}=64\end{cases}

Grazie.
Ringraziano: Omega, Ifrit, xavier310
 
 

Sistema di equazioni con equazione esponenziale #38953

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio ci chiede di determinare l'insieme delle soluzioni associato al sistema di due equazioni in due incognite

\begin{cases}2x+y=3 \\ \\ 2^{x-y}=64\end{cases}

ma prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, esaminiamo attentamente le equazioni che vi compaiono. La prima è una semplice equazione lineare nelle incognite x\ \mbox{e} \ y, mentre la seconda è un'equazione esponenziale.

Dalla relazione lineare possiamo esprimere y in termini di x trasportando a destra dell'uguale il monomio 2x

\begin{cases}y=3-2x \\ \\ 2^{x-y}=64\end{cases}

e sostituire l'espressione ottenuta al posto di y della seconda equazione

\begin{cases}y=3-2x \\ \\ 2^{x-(3-2x)}=64\end{cases}

Avvalendoci della regola dei segni e sommando i monomi simili, il sistema si riscrive nella forma equivalente:

\begin{cases}y=3-2x \\ \\ 2^{3x-3}=64\end{cases}

A questo punto occorre sottolineare che

2^{3x-3}=64

è un'equazione esponenziale nella sola incognita x, la cui soluzione rappresenta l'ascissa della coppia soluzione. Per ricavarne la radice basta notare che 64 è la potenza sesta di 2

2^{3x-3}=2^{6}

da cui uguagliando gli esponenti

3x-3=6 \ \ \ \to \ \ \ 3x=9 \ \ \ \to \ \ \ x=3

Noto il valore di x, è necessario usare l'uguaglianza y=3-2x per esplicitare il corrispettivo valore di y: a x=3 associamo y=-3, infatti:

y=3-2\cdot 3= 3-6=-3

In definitiva, l'insieme delle soluzioni associato al sistema è formato dall'unica coppia (x,y)=(3,-3), pertanto:

S=\left\{(3,-3)\right\}

Ecco fatto!
Ringraziano: DurdenP
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Os