Scomposizione di un binomio come somma di cubi

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Scomposizione di un binomio come somma di cubi #38493

avt
lorenzo45654
Cerchio
Devo scomporre il seguente polinomio mediante la regola sulla somma di due cubi, ma sinceramente non so come.

\frac{1}{27}a^3 b^3+c^3
 
 

Scomposizione di un binomio come somma di cubi #38527

avt
Omega
Amministratore
Il problema ci chiede di scomporre il polinomio

\frac{1}{27}a^3b^3+c^3

come prodotto di fattori irriducibili. In tale occasione possiamo avvalerci della regola relativa alla somma di due cubi

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

dove A\ \mbox{e} \ B sono le basi dei due cubi. Per poter innescare la relazione, dobbiamo innanzitutto riconoscere le due basi.

Osserviamo che, in accordo con le proprietà delle potenze, il primo addendo soddisfa le uguaglianze

\frac{1}{27}a^3b^3=\frac{1}{3^3}a^3b^3=\left(\frac{1}{3}ab\right)^3

mediante le quali ricaviamo la prima base A=\frac{1}{3}ab.

La base del secondo addendo, c^3, è comprensibilmente B=c. La regola sulla somma di cubi ci autorizza a scrivere

\\ \frac{1}{27}a^3b^3+c^3=\left(\frac{1}{3}ab+c\right)\left[\left(\frac{1}{3}ab\right)^2-\frac{1}{3}abc+c^2\right]=\\ \\ \\ =\left(\frac{1}{3}ab+c\right)\left[\frac{1}{9}a^2b^2-\frac{1}{3}abc+c^2\right]

L'esercizio è concluso perché il fattore

\frac{1}{9}a^2b^2-\frac{1}{3}abc+c^2

è riconducibile a un falso quadrato e dunque risulta irriducibile.
Ringraziano: Pi Greco
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Os