Calcolare la potenza di un binomio alla quarta

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Calcolare la potenza di un binomio alla quarta #38292

avt
roxi
Punto
Non capisco come usare il triangolo di Tartaglia per calcolare la quarta potenza di un binomio. So come si costruisce il triangolo, ma poi? Cosa devo fare?

Calcolare la seguente potenza di binomio, usando il triangolo di Tartaglia

(x+1)^4

Grazie.
 
 

Calcolare la potenza di un binomio alla quarta #38301

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per calcolare la potenza del binomio

(x+1)^4

abbiamo bisogno del triangolo di Tartaglia, la cui n+1-esima riga fornisce i coefficienti dello sviluppo della potenza n-esima del binomio A+B.

Nel caso considerato, dobbiamo calcolare la potenza quarta di x+1, per cui abbiamo la necessità di costruire il triangolo di Tartaglia fino alla quinta riga.

\begin{array}{l|rrrrrrrrrr}n=0&&&&&1&&&&\\n=1 &&&&1&&1&&&\\n=2&&&1&&2&&1&&\\ n=3&&1&&3&&3&&1& \\n=4&1&&4&&6&&4&&1&\end{array}

I coefficienti moltiplicativi per la potenza quarta del binomio A+B sono:

1 \ \ \ 4 \ \ \ 6 \ \ \ 4 \ \ \ 1

di conseguenza lo sviluppo del binomio elevato alla quarta è:

\\ (A+B)^4=1\cdot A^4B^0+4\cdot A^3B+6\cdot A^2B^2+4\cdot AB^3+A^0B^4= \\ \\ = A^4+4A^3B+6A^2B^2+4AB^3+B^4

Sottolineiamo che gli esponenti delle lettere non sono casuali e seguono delle regole ben precise: gli esponenti della lettera A partono da 4 e decrescono di 1 a ogni addendo fino a divenire 0; gli esponenti della lettera B partono da 0 e crescono di 1 a ogni addendo fino a divenire 4; ogni termine dello sviluppo è un monomio di grado 4, ciò significa che la somma tra l'esponente di A e quello di B dev'essere necessariamente uguale a 4.

Per ricavare lo sviluppo di (x+1)^4, possiamo procedere con le sostituzioni

\\ A=x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=1

e scrivere:

\\ (x+1)^4=x^4+4x^3\cdot 1+6x^2\cdot 1^2+4x\cdot 1^3+1^3= \\ \\ = x^4+4x^3+6x^2+4x+1

Abbiamo finito.
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Os