Sistema di equazioni esponenziali #38283

avt
matteo
Sfera
Ho bisogno di una mano per risolvere un sistema formato da due equazioni esponenziali in due indeterminate. Da quello che ho capito, devo avvalermi delle proprietà delle potenze per poter esprimere il sistema in forma normale, purtroppo però non ci riesco.

Determinare tutte le coppie (x,y) che soddisfano il seguente sistema di equazioni

y-2^(x) = 0 ; 5y-4^x-4 = 0

Grazie mille.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
 
 

Sistema di equazioni esponenziali #38708

avt
paul spider
Cerchio
Per calcolare le eventuali soluzioni del seguente sistema di equazioni

y-2^(x) = 0 ; 5y-4^x-4 = 0

occorre innanzitutto individuare la relazione più semplice da analizzare e che magari consenta di esprimere un'incognita in termini dell'altra. L'equazione che fa al caso nostro è la prima, infatti se isoliamo y al primo membro, il sistema diventa

y = 2^(x) ; 5y-4^x-4 = 0

Rimpiazziamo l'espressione ottenuta nella seconda relazione del sistema, la quale dipenderà esclusivamente dall'incognita x

y = 2^(x) ; 5·2^x-4^x-4 = 0

Tralasciamo per il momento l'uguaglianza y = 2^x e concentriamoci sull'equazione esponenziale:

5·2^(x)-4^x-4 = 0 → 4^x-5·2^(x)+4 = 0

Per ricavarne le soluzioni, possiamo avvalerci della regola sulla potenza di potenza che garantisce l'uguaglianza

4^(x) = (2^(2))^(x) = 2^(2x)

grazie alla quale l'equazione diventa

2^(2x)-5·2^(x)+4 = 0

Non ci resta che operare la sostituzione razionalizzante

t = 2^(x) → t^2 = 2^(2x)

mediante la quale la precedente relazione si traduce nell'equazione di secondo grado in t

t^2-5t+4 = 0

Indichiamo con a, b e c rispettivamente il coefficiente di t^2, il coefficiente di t e il termine noto, ossia:

a = 1 , b = -5 , c = 4

e usiamoli per esplicitare il discriminante associato con la formula

Δ = b^2-4ac = (-5)^2-4·1·4 = 25-16 = 9

Poiché il Delta è positivo, l'equazione in t ammette due soluzioni reali e distinte, ottenibili con la relazione

t_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-(-5)±√(9))/(2·1) = (5±3)/(2) = (5-3)/(2) = 1 = t_1 ; (5+3)/(2) = 4 = t_2

Deduciamo pertanto che l'equazione di secondo grado in t è soddisfatta dai valori

t = 1 , t = 4

Attenzione, non abbiamo certamente finito! Occorre ripristinare l'incognita x avvalendoci della sostituzione t = 2^(x) che trasforma le uguaglianze precedenti in equazioni esponenziali le cui soluzioni non sono altro che le ascisse delle coppie che risolvono il sistema dato. Più esplicitamente t = 2^(x):

- trasforma l'uguaglianza t = 1 nell'equazione esponenziale

2^(x) = 1 → x = 0

- trasforma l'uguaglianza t = 4 nell'equazione esponenziale

2^(x) = 4 → 2^(x) = 2^2 → x = 2

pertanto x = 0 e x = 2 sono le ascisse delle possibili coppie che soddisfano il sistema dato, a ciascuna delle quali bisogna associare le rispettive y, usando l'uguaglianza y = 2^(x).

A x = 0 associamo y = 1, infatti:

y = 2^(0) = 1

A x = 2 associamo y = 4, infatti:

y = 2^(2) = 4

Con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di costruire due coppie

(x,y) = (0,1) e (x,y) = (2,4)

che soddisfano le equazioni del sistema di partenza, ergo concludiamo che l'insieme delle soluzioni è S = (0,1), (2,4).

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega
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Os