Problemi nella risoluzione di un'equazione logaritmica

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Problemi nella risoluzione di un'equazione logaritmica #38191

jennifer Punto	Ciao a tutti, potreste aiutarmi a risolvere un'equazione logaritmica? Mi sta creando diverse difficoltà, e domani ho il compito. Vi ringrazio! Calcolare le soluzioni della seguente equazione logaritmica a coefficienti fratti $\frac{1}{2}\log(x+20)=\log(2)+\log(x+20)$ Grazie.

Problemi nella risoluzione di un'equazione logaritmica #38211

Omega

Amministratore

Prima di procedere con la risoluzione, ti invito a leggere la lezione su come si risolvono le equazioni logaritmiche in generale.

Il nostro compito consiste nel determinare le eventuali soluzioni dell'equazione logaritmica

$\frac{1}{2}\log(x+20)=\log(2)+\log(x+20)$

ma prima di avventurarci nei calcoli, dobbiamo imporre le condizioni di esistenza: in particolare richiederemo che gli argomenti dei logaritmi che contengono l'incognita siano contemporaneamente maggiori di zero. In questo caso dovremo considerare la disequazione di primo grado

$C.E.:\ x+20>0\ \ \ \to \ \ \ x>-20$

L'equazione è quindi ben posta per

. Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo procedere con i passaggi algebrici. Per prima cosa trasportiamo $\log(x+20)$ dal secondo al primo membro, cambiandone il segno

$\frac{1}{2}\log(x+20)-\log(x+20)=\log(2)$

dopodiché sommiamo tra loro i termini simili, ottenendo l'equazione

$-\frac{1}{2}\log(x+20)=\log(2)$

Isoliamo il logaritmo di

al primo membro

$\log(x+20)=-2\log(2)$

e sfruttiamo la regola relativa alla potenza di un logaritmo, ossia

$a\log(b)=\log(b^a)\ \ \ \mbox{con}\ b>0$

cosicché l'equazione diventi

$\log(x+20)=\log(2^{-2})}$

In base alla definizione di potenza con esponente negativo,

$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$

quindi l'equazione si riscrive nella forma equivalente

$\log(x+20)=\log\left(\frac{1}{4}\right)$

Ce l'abbiamo fatta! Ora l'equazione è in forma normale. Per risolverla è sufficiente ricordare che due logaritmi con la stessa base sono uguali se e solo se coincidono i loro argomenti, dunque deve sussistere l'equazione

$x+20=\frac{1}{4}\ \ \ \to \ \ \ 4x+80=1$

da cui

$x=-\frac{79}{4}$

Poiché il valore ottenuto soddisfa la condizione di esistenza, esso è a tutti gli effetti soluzione dell'equazione data!

Ringraziano: screative

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