Problemi nella risoluzione di un'equazione logaritmica

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Problemi nella risoluzione di un'equazione logaritmica #38191

avt
jennifer
Punto
Ciao a tutti, potreste aiutarmi a risolvere un'equazione logaritmica? Mi sta creando diverse difficoltà, e domani ho il compito. Vi ringrazio!

Calcolare le soluzioni della seguente equazione logaritmica a coefficienti fratti

\frac{1}{2}\log(x+20)=\log(2)+\log(x+20)

Grazie.
 
 

Problemi nella risoluzione di un'equazione logaritmica #38211

avt
Omega
Amministratore
Prima di procedere con la risoluzione, ti invito a leggere la lezione su come si risolvono le equazioni logaritmiche in generale.

Il nostro compito consiste nel determinare le eventuali soluzioni dell'equazione logaritmica

\frac{1}{2}\log(x+20)=\log(2)+\log(x+20)

ma prima di avventurarci nei calcoli, dobbiamo imporre le condizioni di esistenza: in particolare richiederemo che gli argomenti dei logaritmi che contengono l'incognita siano contemporaneamente maggiori di zero. In questo caso dovremo considerare la disequazione di primo grado

C.E.:\ x+20>0\ \ \ \to \ \ \ x>-20

L'equazione è quindi ben posta per x>-20. Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo procedere con i passaggi algebrici. Per prima cosa trasportiamo \log(x+20) dal secondo al primo membro, cambiandone il segno

\frac{1}{2}\log(x+20)-\log(x+20)=\log(2)

dopodiché sommiamo tra loro i termini simili, ottenendo l'equazione

-\frac{1}{2}\log(x+20)=\log(2)

Isoliamo il logaritmo di x+2 al primo membro

\log(x+20)=-2\log(2)

e sfruttiamo la regola relativa alla potenza di un logaritmo, ossia

a\log(b)=\log(b^a)\ \ \ \mbox{con}\ b>0

cosicché l'equazione diventi

\log(x+20)=\log(2^{-2})}

In base alla definizione di potenza con esponente negativo,

2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}

quindi l'equazione si riscrive nella forma equivalente

\log(x+20)=\log\left(\frac{1}{4}\right)

Ce l'abbiamo fatta! Ora l'equazione è in forma normale. Per risolverla è sufficiente ricordare che due logaritmi con la stessa base sono uguali se e solo se coincidono i loro argomenti, dunque deve sussistere l'equazione

x+20=\frac{1}{4}\ \ \ \to \ \ \ 4x+80=1

da cui

x=-\frac{79}{4}

Poiché il valore ottenuto soddisfa la condizione di esistenza, esso è a tutti gli effetti soluzione dell'equazione data!
Ringraziano: screative
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Os