Problemi nella risoluzione di un'equazione logaritmica

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Problemi nella risoluzione di un'equazione logaritmica #38191

avt
jennifer
Punto
Ciao a tutti, potreste aiutarmi a risolvere un'equazione logaritmica? Mi sta creando diverse difficoltà, e domani ho il compito. Vi ringrazio!

Calcolare le soluzioni della seguente equazione logaritmica a coefficienti fratti

(1)/(2)log(x+20) = log(2)+log(x+20)

Grazie.
 
 

Problemi nella risoluzione di un'equazione logaritmica #38211

avt
Omega
Amministratore
Prima di procedere con la risoluzione, ti invito a leggere la lezione su come si risolvono le equazioni logaritmiche in generale.

Il nostro compito consiste nel determinare le eventuali soluzioni dell'equazione logaritmica

(1)/(2)log(x+20) = log(2)+log(x+20)

ma prima di avventurarci nei calcoli, dobbiamo imporre le condizioni di esistenza: in particolare richiederemo che gli argomenti dei logaritmi che contengono l'incognita siano contemporaneamente maggiori di zero. In questo caso dovremo considerare la disequazione di primo grado

C.E.: x+20 > 0 → x > -20

L'equazione è quindi ben posta per x > -20. Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo procedere con i passaggi algebrici. Per prima cosa trasportiamo log(x+20) dal secondo al primo membro, cambiandone il segno

(1)/(2)log(x+20)-log(x+20) = log(2)

dopodiché sommiamo tra loro i termini simili, ottenendo l'equazione

-(1)/(2)log(x+20) = log(2)

Isoliamo il logaritmo di x+2 al primo membro

log(x+20) = -2log(2)

e sfruttiamo la regola relativa alla potenza di un logaritmo, ossia

alog(b) = log(b^a) con b > 0

cosicché l'equazione diventi

log(x+20) = log(2^(-2))

In base alla definizione di potenza con esponente negativo,

2^(-2) = (1)/(2^2) = (1)/(4)

quindi l'equazione si riscrive nella forma equivalente

log(x+20) = log((1)/(4))

Ce l'abbiamo fatta! Ora l'equazione è in forma normale. Per risolverla è sufficiente ricordare che due logaritmi con la stessa base sono uguali se e solo se coincidono i loro argomenti, dunque deve sussistere l'equazione

x+20 = (1)/(4) → 4x+80 = 1

da cui

x = -(79)/(4)

Poiché il valore ottenuto soddisfa la condizione di esistenza, esso è a tutti gli effetti soluzione dell'equazione data!
Ringraziano: screative
  • Pagina:
  • 1
Os