Esercizio sistema di equazioni esponenziali

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Esercizio sistema di equazioni esponenziali #38087

avt
xavier310
Sfera
Mi è capitato un esercizio sui sistemi non lineari che non sono in grado di risolvere. Il sistema è formato da due equazioni esponenziali in due incognite.

Dopo aver espresso le equazioni in forma normale, ricavare le soluzioni del seguente sistema in due incognite

\begin{cases}4^{y^2}-2^{4x}=0\\ \\ 5^{x^2-5}\cdot 25^{y^2}=1\end{cases}

Grazie mille.
 
 

Esercizio sistema di equazioni esponenziali #38167

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il sistema di equazioni

\begin{cases}4^{y^2}-2^{4x}=0\\ \\ 5^{x^2-5}\cdot 25^{y^2}=1\end{cases}

e poniamoci l'obiettivo di determinare le coppie (x,y) che soddisfano contemporaneamente le equazioni che vi compaiono.

Il primo passo che ci condurrà alle eventuali soluzioni consiste nell'usare le proprietà delle potenze utili a esprimere i termini della prima equazione sotto forma di esponenziali in base 2 e a trasformare quelli della seconda in esponenziali in base 5. Più esplicitamente, la relazione (a^b)^c=a^{bc} consente di scrivere le seguenti identità:

\\ 4^{y^2}=(2^2)^{y^2}=2^{2y^2} \ \ \ \mbox{per ogni} \ y\in\mathbb{R}\\ \\ 25^{y^2}=(5^{2})^{y^2}=5^{2y^2} \ \ \ \mbox{per ogni} \ y\in\mathbb{R}

È proprio grazie a queste uguaglianze che il sistema diventa

\begin{cases}2^{2y^2}-2^{4x}=0\\ \\ 5^{x^2-5}\cdot 5^{2y^2}=1\end{cases}

A questo punto: nella prima relazione isoliamo 2^{2y^2} a sinistra, mentre nella seconda usiamo la regola che consente di esprimere il prodotto delle due potenze in base 5 nella potenza che ha per base 5 e per esponente la somma degli esponenti

\begin{cases}2^{2y^2}=2^{4x}\\ \\ 5^{x^2-5+2y^2}=1\end{cases}

Ricordando che due esponenziali con la stessa base sono uguali se e solo se hanno il medesimo esponente, la prima equazione si tramuta in

2y^2=4x

Per quanto concerne la seconda, possiamo osservare che 1=5^{0} per cui, una volta eguagliati gli esponenti, ricaviamo

x^2-5+2y^2=0

Con le informazioni in nostro possesso, siamo autorizzati a riscrivere il sistema nella forma equivalente

\begin{cases}2y^2=4x \\ \\ x^2+2y^2-5=0\end{cases}

L'uguaglianza 2y^2=4x, inoltre, consente di rimpiazzare 2y^2 con x nella seconda.

\begin{cases}2y^2=4x \\ \\ x^2+4x-5=0\end{cases}

L'equazione di secondo grado

x^2+4x-5=0

è effettivamente la risolvente del sistema e le sue radici coincidono con le ascisse delle eventuali coppie soluzione. Per studiarla, indichiamo con a, \ b\ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=4 \ \ \ , \ \ \ c=-5

e calcoliamo il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac= 4^2-4\cdot 1\cdot (-5)=16+20=36

Poiché il Delta è positivo, l'equazione in x ammette due soluzioni reali e distinte, che si ricavano con la relazione

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{36}}{2\cdot 1}= \\ \\ \\ = \frac{-4\pm 6}{2}=\begin{cases}\frac{-4-6}{2}=-\frac{10}{2}=-5=x_1\\ \\ \frac{-4+6}{2}=\frac{2}{2}=1=x_2\end{cases}

Deduciamo pertanto che la risolvente è soddisfatta dai valori

x=-5 \ \ \ , \ \ \ x=1

a ciascuno dei quali vanno associati i corrispettivi y, ricavabili con l'uguaglianza 2y^2=4x.

Se x=-5, \ 2y^2=4x si tramuta nell'equazione

2y^2=-20\ \ \ \to \ \ \ y^2=-10

che però non ammette soluzioni giacché non esiste alcun numero reale che elevato al quadrato risulti negativo: x=-5 non genera alcuna coppia risolvente.

Se x=1, la relazione 2y^2=4x si traduce nell'equazione pura di secondo grado:

2y^2=4\cdot 1 \ \ \ \to \ \ \ y^2=2\ \ \ \to \ \ \ y=\pm\sqrt{2}

I valori ottenuti consentono di costruire le seguenti coppie

(x,y)=(1,-\sqrt{2})\ \ \ \mbox{e} \ \ \ (x,y)=(1,\sqrt{2})

le quali formano l'insieme delle soluzioni del sistema dato.
Ringraziano: xavier310
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Os