Addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni con monomi

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Addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni con monomi #3805

avt
Alessandro Michienzi
Punto
Ho bisogno di una mano per semplificare espressioni con monomi a coefficienti decimali. In alcune di esse compaiono i numeri periodici che non so come trattare.

Calcolare le seguenti espressioni con i monomi

(a) \ \ \ (1,\overline{3}x^2+0,\overline{9})-(0,\overline{3}x^2+4x-1) \\ \\ \\ (b) \ \ \ 2a^{2}-\left[-\left(3a^2-\frac{1}{5}\right)-\left(4a^2-a+\frac{1}{2}\right)+9a^2\right]+1\\ \\ \\ (c) \ \ \ (15 a^4-9a^3b+4b)(2ab^2)\\ \\ \\ (d) \ \ \ \left(a^4-ab-\frac{4}{3}a^2b^2+2\right)\left(-\frac{3}{2}ab\right)\\ \\ \\ (e) \ \ \ \frac{2}{3}a^2bc^2\left(-\frac{3}{2}abc-\frac{1}{2}ab^2c+\frac{9}{2}-\frac{bc}{6}\right)

Grazie mille.
 
 

Addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni con monomi #3809

avt
Omega
Amministratore
Prima di risolvere le espressioni, consigliamo la lettura delle seguenti lezioni:

- operazioni con i monomi;

- somma di frazioni;

- differenza tra frazioni.


(a) Espressione con i monomi a coefficienti periodici

Consideriamo l'espressione

(1,\overline{3}x^2+0,\overline{9})-(0,\overline{3}x^2+4x-1)=

Il primo passaggio prevede di trasformare i numeri periodici nelle rispettive frazioni generatrici.

=\left(\frac{13-1}{9}x^2+\frac{9}{9}\right)-\left(\frac{1}{3}x^2+4x-1\right)=

Semplifichiamo le frazioni

=\left(\frac{12}{9}x^2+1\right)-\left(\frac{1}{3}x^2+4x-1\right)=\\ \\ \\ =\left(\frac{4}{3}x^2+1\right)-\left(\frac{1}{3}x^2+4x-1\right)=

dopodiché ci sbarazziamo della prima coppia di parentesi tonde

=\frac{4}{3}x^2+1-\left(\frac{1}{3}x^2+4x-1\right)=

Per eliminare la seconda coppia di parentesi, distribuiamo il segno meno a ciascun termine al loro interno. Sfruttando la regola dei segni, ricaviamo:

=\frac{4}{3}x^2+1-\frac{1}{3}x^2-4x+1=

Sommiamo i monomi simili, ossia quei termini che hanno la stessa parte letterale

\\ =\left(\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\right)x^2-4x+1+1=\\ \\ \\ =\frac{3}{3}x^2-4x+2=\\ \\ \\ =x^2-4x+2

Ecco fatto!


(b) Espressione con i monomi a coefficienti fratti

Consideriamo l'espressione letterale

2a^2-\left[-\left(3a^2-\frac{1}{5}\right)-\left(4a^2-a+\frac{1}{2}\right)+9a^2\right]+1=

Per prima cosa bisogna eliminare le parentesi tonde, prestando attenzione al fatto che sono precedute dal segno meno: in accordo con la regola dei segni, basta cambiare il segno ai termini al loro interno.

=2a^2-\left[-3a^2+\frac{1}{5}-4a^2+a-\frac{1}{2}+9a^2\right]+1=

Sommiamo tra loro i monomi simili, addizionando i loro coefficienti

=2a^2-\left[(-3-4+9)a^2+a+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{2}\right)\right]+1=

Portiamo a termine i calcoli, prestando la massima attenzione alla differenza tra le frazioni \frac{1}{5}\ \mbox{e} \ \frac{1}{2}

\\ =2a^2-\left[2a^2+a+\left(\frac{2-5}{10}\right)\right]+1= \\ \\ \\ = 2a^2-\left[2a^2+a-\frac{3}{10}\right]+1=

Eliminiamo le parentesi quadre cambiando i segni dei termini al loro interno

=2a^2-2a^2-a+\frac{3}{10}+1=

dopodiché sommiamo tra loro i monomi che hanno la stessa parte letterale

\\ =(2-2)a^2-a+\left(\frac{3}{10}+1\right)= \\ \\ \\ =-a+\frac{3+10}{10}= \\ \\ \\ =-a+\frac{13}{10}

Abbiamo finito.


(c) Prodotto tra un polinomio e un monomio

Per calcolare

(15a^4-9a^3b+4b)(2ab^2)=

bisogna rifarsi alla regola per calcolare il prodotto tra un polinomio e un monomio. Non è nulla di complicato! Basta distribuire il monomio a ciascuno addendo del polinomio

=15a^4\cdot(2ab^2)-9a^3b\cdot(2ab^2)+4b\cdot(2ab^2)=

dopodiché svolgiamo il prodotto tra i monomi moltiplicando i coefficienti e le parti letterali

=(15\cdot 2)a^4\cdot ab^2+(-9\cdot 2)a^{3}\cdot(ab^2)+(4\cdot 2) \cdot b\cdot ab^2=

Calcoliamo il prodotto delle parti letterali affidandoci alle proprietà delle potenze, in particolare alla regola sul prodotto di due potenze che hanno la stessa base.

\\ =30a^{4+1}b^2-18a^{3+1}b^2+8 ab^{2+1}= \\ \\ =30a^5b^2-18a^4b^2+8ab^3

Abbiamo finito.


(d) Prodotto tra un polinomio per un monomio

Calcoliamo il prodotto

\left(a^4-ab-\frac{4}{3}a^2b^2+2\right)\left(-\frac{3}{2}ab\right)=

distribuendo il monomio a ciascun addendo del polinomio

=a^4\left(-\frac{3}{2}ab\right)-ab\left(-\frac{3}{2}ab\right)-\frac{4}{3}a^2b^2\left(-\frac{3}{2}ab\right)+2\left(-\frac{3}{2}ab\right)=

dopodiché moltiplichiamo tra loro i monomi usando le proprietà delle potenze e stando attenti ai segni

\\ {=\left[1\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\right]a^4(ab)+\left[(-1)\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\right](ab)(ab)+\left[\left(-\frac{4}{3}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\right](a^2b^2)(ab)+\left[2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\right]ab= } \\ \\ \\ =-\frac{3}{2}a^{4+1}b+\frac{3}{2}a^{1+1}b^{1+1}+2a^{2+1}b^{2+1}-3ab=\\ \\ \\ =-\frac{3}{2}a^5b+\frac{3}{2}a^2b^2+2a^3b^3-3ab

Non essendoci termini simili, siamo giunti finalmente al risultato.

(e) Prodotto tra un monomio e un polinomio a coefficienti fratti

Consideriamo l'espressione letterale

\frac{2}{3}a^2bc^2\left(-\frac{3}{2}abc-\frac{1}{2}ab^2c+\frac{9}{2}-\frac{bc}{6}\right)=

Per semplificarla distribuiamo il monomio a ciascun addendo del polinomio

{=\left(\frac{2}{3}a^2bc^2\right)\left(-\frac{3}{2}abc\right)+\left(\frac{2}{3}a^2bc^2\right)\left(-\frac{1}{2}ab^2c\right)+\left(\frac{2}{3}a^2bc^2\right)\left(\frac{9}{2}\right)+\left(\frac{2}{3}a^2bc^2\right)\left(-\frac{bc}{6}\right)=}

Moltiplichiamo tra loro le rispettive parti numeriche e le parti letterali

{=\left[\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\right]a^{2}bc^2 (abc)+\left[\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\right](a^2bc^2)(ab^2c)+\left[\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{2}\right]+\left[\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)\right](a^2bc^2)(bc)=}

Svolgiamo i calcoli rimasti ottenendo così il risultato.

\\ =-a^{2+1}b^{1+1}c^{2+1}-\frac{1}{3}a^{2+1}b^{1+2}c^{2+1}+3-\frac{1}{9}a^{2}b^{1+1}c^{2+1}= \\ \\ \\ =-a^3b^2c^3-\frac{1}{3}a^{3}b^{3}c^{3}+3-\frac{1}{9}a^2b^2c^3

Abbiamo finito.
Ringraziano: frank094, Alessandro Michienzi
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Os