Equazione trigonometrica con seno e coseno

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione trigonometrica con seno e coseno #38026

avt
ragazza
Punto
Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione goniometrica in seno e coseno, in cui probabilmente dovrò utilizzare la formula di addizione del seno per ricondurmi a un'equazione lineare in seno e coseno.

Risolvere la seguente equazione goniometrica

\sin(x+30^{\circ})+\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}

Qualcuno mi può aiutare? Grazie.
 
 

Equazione trigonometrica con seno e coseno #38038

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo l'equazione goniometrica in seno e coseno

\sin(x+30^{\circ})+\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}

Grazie alla formula di addizione del seno, possiamo esprimere l'addendo \sin(x+30^{\circ}) come segue:

\\ \sin(x+30^{\circ})=\sin(x)\cos(30^{\circ})+\cos(x)\sin(30^{\circ})= \\ \\ \\ =\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)+\frac{1}{2}\cos(x)

così che l'equazione data diventi

\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)+\frac{1}{2}\cos(x)+\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}

Una volta sommati tra loro i coefficienti del coseno ricaviamo

\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)+\frac{3}{2}\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}

Moltiplicando inoltre ciascun termine per 2, ci riconduciamo all'equazione lineare in seno e coseno

\sqrt{3}\sin(x)+3\cos(x)=\sqrt{3}

A questo punto possiamo procedere in più modi: mediante le formule parametriche o ancora con il metodo dell'angolo aggiunto. In questa situazione particolare, procederemo con il metodo del passaggio al sistema.

Esso prevede di impostare un sistema di due equazioni, la prima delle quali coincide con quella data, la seconda è invece l'identità fondamentale della goniometria. Il sistema da analizzare è quindi:

\begin{cases}\sqrt{3}\sin(x)+3\cos(x)=\sqrt{3}\\ \\ \cos^2(x)+\sin^2(x)=1\end{cases}

Per facilitare le notazioni, operiamo le seguenti sostituzioni

Y=\sin(x)\ \ \ ,  \ \ \ X=\cos(x)

grazie alle quali, il sistema diventa

\begin{cases}\sqrt{3}Y+3X=\sqrt{3}\\ \\ X^2+Y^2=1\end{cases}

Per calcolarne le eventuali soluzioni, esprimiamo l'incognita X in termini di Y dalla prima equazione

\begin{cases}X=\dfrac{\sqrt{3}(1-Y)}{3}\\ \\ X^2+Y^2=1\end{cases}

e rimpiazziamo l'espressione nella seconda equazione

\begin{cases}X=\dfrac{\sqrt{3}(1-Y)}{3}\\ \\ \left[\dfrac{\sqrt{3}}{3}(1-Y)\right]^2+Y^2=1\end{cases}

Scriviamo in forma normale la seconda equazione, sfruttando a dovere le proprietà delle potenze

\\ \left[\frac{\sqrt{3}}{3}(1-Y)\right]^2+Y^2=1 \\ \\ \\ \frac{3}{9}(1-Y)^2+Y^2=1

sviluppiamo il quadrato di binomio

\frac{1}{3}(1-2Y+Y^2)+Y^2=1

e portiamo a termine i calcoli

\\ 1-2Y+Y^2+3Y^2=3 \\ \\ 4Y^2-2Y-2=0 \\ \\ 2Y^2-Y-1=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado nell'incognita Y e con coefficienti

a=2 \ \ \ , \ \ \ b=-1 \ \ \ , \ \ \ c=-1

Calcoliamo il discriminante con la formula

\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 2 \cdot (-1) =9

e le soluzioni con la relazione

\\ Y_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{4}= \\ \\ \\ \frac{1\pm 3}{4}=\begin{cases}\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}=Y_1\\ \\ \frac{1+3}{4}=1=Y_2\end{cases}

Noti valori di Y, possiamo ricavare quelli di X usando la prima equazione del sistema

A Y=-\frac{1}{2} associamo il valore

X=\frac{\sqrt{3}\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}

A Y=1 associamo invece il valore

X=\frac{\sqrt{3}(1-1)}{3}=0

Le coppie di soluzioni sono dunque

(X,Y)=(0,1)\ \ \ , \ \ \ (X,Y)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)

Nel piano cartesiano OXY le coppie rappresentano i punti di intersezione tra la retta di equazione

\sqrt{3}Y+3X=\sqrt{3}

e la circonferenza goniometrica di equazione

X^2+Y^2=1

Ora possiamo ripristinare seno e coseno, tenendo conto delle sostituzioni fatte.

Al punto (X,Y)=(0,1) associamo il sistema

\begin{cases}\cos(x)=0\ \ \ \to \ \ \ x=90^{\circ}+360^{\circ}k \ \ \vee \ \ x=270^{\circ}+360^{\circ}k \\ \\ \sin(x)=1\ \ \ \to \ \ \ x=90^{\circ}+360^{\circ}k\end{cases}

che è soddisfatto per

x=90^{\circ}+360^{\circ}k\ \ \ \mbox{con}\ k\quad k\in\mathbb{Z}

Per quanto concerne l'altra coppia

\begin{cases}Y=-\dfrac{1}{2}\\ \\ X=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}

associamo il sistema goniometrico

\begin{cases}\sin(x)=-\dfrac{1}{2}\ \ \ \to \ \ \ x=210^{\circ}+360^{\circ}k \ \ \vee \ \ x=330^{\circ}+360^{\circ}k\\ \\ \cos(x)= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \ \ \to \ \ \ x= 30^{\circ}+360^{\circ}k \ \ \vee \ \ 330^{\circ}+360^{\circ}k\end{cases}

Da questo sistema otteniamo che

x=330^\circ+360^\circ k\ \ \ \mbox{con}\ k\in\mathbb{Z}

Possiamo concludere che le soluzioni dell'equazione goniometrica

\sin(x+30^{\circ})+\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}

sono

x=90^{\circ}+360^{\circ}k \ \ \vee \ \ x=330^{\circ}+360^{\circ} k

dove k varia nell'insieme dei numeri interi.


Risoluzione con le formule parametriche

Per risolvere l'equazione trigonometrica

\sin{(x+30^{\circ})}+\cos{(x)}=\frac{\sqrt{3}}{2}

dobbiamo innanzitutto riscrivere il primo addendo con la formula di sommazione degli angoli per il seno.

Tenendo conto dei valori di seno e coseno in 30°, arriviamo ad un'equazione della forma

\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{(x)}+\frac{3}{2}\cos{(x)}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Moltiplicando per 2 e dividendo per \sqrt{3} i due membri, otteniamo l'equazione equivalente

\sin{(x)}+\sqrt{3}\cos{(x)}=1

A questo punto sfruttiamo le formule parametriche per seno e coseno. Ponendo

t=\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}

e facendo ricorso alle formule

\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2} \ \ \ , \ \ \ \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}

Operando le sostituzioni, l'equazione

\sin{(x)}+\sqrt{3}\cos{(x)}=1

diventa

\frac{2t}{1+t^2}+\frac{\sqrt{3}(1-t^2)}{1+t^2}=1

da cui, calcolando il minimo comune multiplo tra i denominatori

2t+\sqrt{3}-\sqrt{3}t^2=1+t^2

che è un'equazione di secondo grado

(1+\sqrt{3})t^2-2t+(1-\sqrt{3})=0

Non resta che applicare la solita formula del delta, ottenendo così due soluzioni t_1,\ t_2.

\\ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}}{2(1+\sqrt{3})}= \\ \\ \\ =\frac{2\pm\sqrt{12}}{2(1+\sqrt{3})}=\begin{cases}\frac{2-2\sqrt{3}}{2(1+\sqrt{3})}=\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=t_1 \\ \\ \frac{2+2\sqrt{3}}{2+2\sqrt{3}}=1=t_2\end{cases}

Osserviamo che il valore t_1 può essere ulteriormente semplificato razionalizzando il denominatore, vale a dire moltiplicando e dividendo l'espressione per 1-\sqrt{3}

\\ \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=\frac{(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}=\frac{4-2\sqrt{3}}{-2}=\\ \\ \\ =\sqrt{3}-2

Non resta che risolvere le equazioni trigonometriche elementari

\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}=t_1 \ \ \ \to \ \ \ \tan\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{3}-2

Aiutandoci con la tabella dei valori goniometrici notevoli, scopriamo che la tangente di un angolo è uguale a \sqrt{3}-2 se l'angolo vale

165^{\circ}+k\cdot 180^{\circ}

pertanto siamo autorizzati a impostare l'equazione di primo grado nell'incognita x

\frac{x}{2}=165^{\circ}+k\cdot 180^{\circ}

da cui ricaviamo

x=330^{\circ}+360^{\circ}\cdot k

Occupiamoci della seconda relazione

\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}=t_2

da cui

\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1

Affinché la tangente sia pari a 1, il suo argomento dev'essere uguale a

45^{\circ}+k\cdot 180^{\circ}

pertanto l'equazione precedente si riconduce a

\frac{x}{2}=45^{\circ}+k\cdot 180^{\circ}

da cui, moltiplicando membro a membro per 2

x=90^{\circ}+360^{\circ}k

al variare di k\in\mathbb{Z}. In definitiva, possiamo affermare che le soluzioni dell'equazione

\sin(x+30^{\circ})+\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}

sono

x=90^{\circ}+360^{\circ} k \ \ \vee \ \  x=330^{\circ}+360^{\circ}k

dove k è un numero intero.

Metodo dell'angolo aggiunto

L'ultimo metodo che consente di risolvere l'equazione lineare in seno e coseno

\sin{(x+30^{o})}+\cos{(x)}=\frac{\sqrt{3}}{2}

consiste nell'esprimere l'equazione lineare in forma normale, utilizzando a nostro vantaggio la formula di addizione del seno

\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)+\frac{3\cos(x)}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}

e moltiplicando i due membri per 2

\sqrt{3}\sin(x)+3\cos(x)=\sqrt{3}

Ridotta in forma normale l'equazione, il nostro compito diventa quello di determinare un numero reale non negativo R e un angolo \phi compreso tra 0\ \mbox{e} \ 360^{\circ} così da poter esplicitare l'equazione equivalente a quella data

R\sin\left(x+\phi\right)=\sqrt{3}

Chiamiamo A\ \mbox{e} \ B rispettivamente il coefficiente del seno e quello del coseno

A=\sqrt{3} \ \ \ , \ \ \ B=3

e calcoliamo il numero reale R con la formula

R=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}

Per quanto concerne il calcolo dell'angolo aggiunto, esso è l'unico angolo 0\le \phi<360^{\circ} che soddisfa il sistema

\begin{cases}\sin(\phi)=\dfrac{B}{R}\\ \\ \cos(\phi)=\dfrac{A}{R}\end{cases}

vale a dire

\begin{cases}\sin(\phi)=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}\ \ \ \to \ \ \ \sin(\phi)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ \cos(\phi)=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\ \ \ \to \ \ \ \cos(\phi)=\dfrac{1}{2}\end{cases}

Dopo le dovute semplificazioni, otteniamo il sistema

\begin{cases}\sin(\phi)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \cos(\phi)=\dfrac{1}{2}\end{cases}

soddisfatto da

\phi=60^{\circ}

Noti R\ \mbox{e} \ \phi, siamo in grado di costruire l'equazione equivalente

2\sqrt{3}\sin\left(x+60^{\circ}\right)=\sqrt{3}

dalla quale

\sin\left(x+60^{\circ}\right)=\frac{1}{2}

Ricordando che il seno di un angolo coincide con \frac{1}{2} se l'angolo vale

30^{\circ}+360^{\circ}k \ \ \vee \ \ 150^{\circ}+360^{\circ}k

otteniamo le equazioni di primo grado nell'incognita x

\\ x+60^{\circ}=30^{\circ}+360^{\circ}k \ \ \ \to \ \ \ x=-30^{\circ}+360^{\circ} k \\ \\ x+60^{\circ}=150^{\circ}+360^{\circ}k \ \ \ \to \ \ \ x=210^{\circ}+360^{\circ}

Il rappresentante della prima famiglia di soluzioni, ossia -30^{\circ}, può essere cambiato in favore dell'angolo corrispondente riferito al cosiddetto "primo giro" della circonferenza

-30^{\circ} \ \ \to \ \ 330^{\circ}

dunque siamo autorizzati a scrivere le soluzioni come

\\ x=330^{\circ}+360^{\circ} k \ \ \vee \ \ x=210^{\circ}+360^{\circ}k

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Omega, ragazza
  • Pagina:
  • 1
Os