Equazione trigonometrica con seno e coseno

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Equazione trigonometrica con seno e coseno #38026

avt
ragazza
Punto
Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione goniometrica in seno e coseno, in cui probabilmente dovrò utilizzare la formula di addizione del seno per ricondurmi a un'equazione lineare in seno e coseno.

Risolvere la seguente equazione goniometrica

sin(x+30°)+cos(x) = (√(3))/(2)

Qualcuno mi può aiutare? Grazie.
 
 

Equazione trigonometrica con seno e coseno #38038

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo l'equazione goniometrica in seno e coseno

sin(x+30°)+cos(x) = (√(3))/(2)

Grazie alla formula di addizione del seno, possiamo esprimere l'addendo sin(x+30°) come segue:

sin(x+30°) = sin(x)cos(30°)+cos(x)sin(30°) = (√(3))/(2)sin(x)+(1)/(2)cos(x)

così che l'equazione data diventi

(√(3))/(2)sin(x)+(1)/(2)cos(x)+cos(x) = (√(3))/(2)

Una volta sommati tra loro i coefficienti del coseno ricaviamo

(√(3))/(2)sin(x)+(3)/(2)cos(x) = (√(3))/(2)

Moltiplicando inoltre ciascun termine per 2, ci riconduciamo all'equazione lineare in seno e coseno

√(3)sin(x)+3cos(x) = √(3)

A questo punto possiamo procedere in più modi: mediante le formule parametriche o ancora con il metodo dell'angolo aggiunto. In questa situazione particolare, procederemo con il metodo del passaggio al sistema.

Esso prevede di impostare un sistema di due equazioni, la prima delle quali coincide con quella data, la seconda è invece l'identità fondamentale della goniometria. Il sistema da analizzare è quindi:

√(3)sin(x)+3cos(x) = √(3) ; cos^2(x)+sin^2(x) = 1

Per facilitare le notazioni, operiamo le seguenti sostituzioni

Y = sin(x) , X = cos(x)

grazie alle quali, il sistema diventa

√(3)Y+3X = √(3) ; X^2+Y^2 = 1

Per calcolarne le eventuali soluzioni, esprimiamo l'incognita X in termini di Y dalla prima equazione

X = (√(3)(1-Y))/(3) ; X^2+Y^2 = 1

e rimpiazziamo l'espressione nella seconda equazione

X = (√(3)(1-Y))/(3) ; [(√(3))/(3)(1-Y)]^2+Y^2 = 1

Scriviamo in forma normale la seconda equazione, sfruttando a dovere le proprietà delle potenze

[(√(3))/(3)(1-Y)]^2+Y^2 = 1 ; (3)/(9)(1-Y)^2+Y^2 = 1

sviluppiamo il quadrato di binomio

(1)/(3)(1-2Y+Y^2)+Y^2 = 1

e portiamo a termine i calcoli

1-2Y+Y^2+3Y^2 = 3 ; 4Y^2-2Y-2 = 0 ; 2Y^2-Y-1 = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado nell'incognita Y e con coefficienti

a = 2 , b = -1 , c = -1

Calcoliamo il discriminante con la formula

Δ = b^2-4ac = (-1)^2-4·2·(-1) = 9

e le soluzioni con la relazione

Y_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-(-1)±√(9))/(4) = ; (1±3)/(4) = (1-3)/(4) = -(1)/(2) = Y_1 ; (1+3)/(4) = 1 = Y_2

Noti valori di Y, possiamo ricavare quelli di X usando la prima equazione del sistema

A Y = -(1)/(2) associamo il valore

X = (√(3)(1-(-(1)/(2))))/(3) = (√(3))/(2)

A Y = 1 associamo invece il valore

X = (√(3)(1-1))/(3) = 0

Le coppie di soluzioni sono dunque

(X,Y) = (0,1) , (X,Y) = ((√(3))/(2),-(1)/(2))

Nel piano cartesiano OXY le coppie rappresentano i punti di intersezione tra la retta di equazione

√(3)Y+3X = √(3)

e la circonferenza goniometrica di equazione

X^2+Y^2 = 1

Ora possiamo ripristinare seno e coseno, tenendo conto delle sostituzioni fatte.

Al punto (X,Y) = (0,1) associamo il sistema

cos(x) = 0 → x = 90°+360°k ∨ x = 270°+360°k ; sin(x) = 1 → x = 90°+360°k

che è soddisfatto per

x = 90°+360°k con k k∈Z

Per quanto concerne l'altra coppia

Y = -(1)/(2) ; X = (√(3))/(2)

associamo il sistema goniometrico

sin(x) = -(1)/(2) → x = 210°+360°k ∨ x = 330°+360°k ; cos(x) = (√(3))/(2) → x = 30°+360°k ∨ 330°+360°k

Da questo sistema otteniamo che

x = 330°+360° k con k∈Z

Possiamo concludere che le soluzioni dell'equazione goniometrica

sin(x+30°)+cos(x) = (√(3))/(2)

sono

x = 90°+360°k ∨ x = 330°+360° k

dove k varia nell'insieme dei numeri interi.


Risoluzione con le formule parametriche

Per risolvere l'equazione trigonometrica

sin(x+30°)+cos(x) = (√(3))/(2)

dobbiamo innanzitutto riscrivere il primo addendo con la formula di sommazione degli angoli per il seno.

Tenendo conto dei valori di seno e coseno in 30°, arriviamo ad un'equazione della forma

(√(3))/(2)sin(x)+(3)/(2)cos(x) = (√(3))/(2)

Moltiplicando per 2 e dividendo per √(3) i due membri, otteniamo l'equazione equivalente

sin(x)+√(3)cos(x) = 1

A questo punto sfruttiamo le formule parametriche per seno e coseno. Ponendo

t = tan(((x)/(2)))

e facendo ricorso alle formule

sin(x) = (2t)/(1+t^2) , cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)

Operando le sostituzioni, l'equazione

sin(x)+√(3)cos(x) = 1

diventa

(2t)/(1+t^2)+(√(3)(1-t^2))/(1+t^2) = 1

da cui, calcolando il minimo comune multiplo tra i denominatori

2t+√(3)-√(3)t^2 = 1+t^2

che è un'equazione di secondo grado

(1+√(3))t^2-2t+(1-√(3)) = 0

Non resta che applicare la solita formula del delta, ottenendo così due soluzioni t_1, t_2.

t_(1,2) = (-b±√(b^2-4ac))/(2a) = (2±√((-2)^2-4·(1+√(3))(1-√(3))))/(2(1+√(3))) = (2±√(12))/(2(1+√(3))) = (2-2√(3))/(2(1+√(3))) = (1-√(3))/(1+√(3)) = t_1 ; (2+2√(3))/(2+2√(3)) = 1 = t_2

Osserviamo che il valore t_1 può essere ulteriormente semplificato razionalizzando il denominatore, vale a dire moltiplicando e dividendo l'espressione per 1-√(3)

(1-√(3))/(1+√(3)) = ((1-√(3))(1-√(3)))/((1+√(3))(1-√(3))) = (4-2√(3))/(-2) = √(3)-2

Non resta che risolvere le equazioni trigonometriche elementari

tan(((x)/(2))) = t_1 → tan((x)/(2)) = √(3)-2

Aiutandoci con la tabella dei valori goniometrici notevoli, scopriamo che la tangente di un angolo è uguale a √(3)-2 se l'angolo vale

165°+k·180°

pertanto siamo autorizzati a impostare l'equazione di primo grado nell'incognita x

(x)/(2) = 165°+k·180°

da cui ricaviamo

x = 330°+360°·k

Occupiamoci della seconda relazione

tan(((x)/(2))) = t_2

da cui

tan((x)/(2)) = 1

Affinché la tangente sia pari a 1, il suo argomento dev'essere uguale a

45°+k·180°

pertanto l'equazione precedente si riconduce a

(x)/(2) = 45°+k·180°

da cui, moltiplicando membro a membro per 2

x = 90°+360°k

al variare di k∈Z. In definitiva, possiamo affermare che le soluzioni dell'equazione

sin(x+30°)+cos(x) = (√(3))/(2)

sono

x = 90°+360° k ∨ x = 330°+360°k

dove k è un numero intero.

Metodo dell'angolo aggiunto

L'ultimo metodo che consente di risolvere l'equazione lineare in seno e coseno

sin((x+30^(o)))+cos(x) = (√(3))/(2)

consiste nell'esprimere l'equazione lineare in forma normale, utilizzando a nostro vantaggio la formula di addizione del seno

(√(3))/(2)sin(x)+(3cos(x))/(2) = (√(3))/(2)

e moltiplicando i due membri per 2

√(3)sin(x)+3cos(x) = √(3)

Ridotta in forma normale l'equazione, il nostro compito diventa quello di determinare un numero reale non negativo R e un angolo φ compreso tra 0 e 360° così da poter esplicitare l'equazione equivalente a quella data

Rsin(x+φ) = √(3)

Chiamiamo A e B rispettivamente il coefficiente del seno e quello del coseno

A = √(3) , B = 3

e calcoliamo il numero reale R con la formula

R = √(A^2+B^2) = √((√(3))^2+3^2) = √(12) = 2√(3)

Per quanto concerne il calcolo dell'angolo aggiunto, esso è l'unico angolo 0 ≤ φ < 360° che soddisfa il sistema

sin(φ) = (B)/(R) ; cos(φ) = (A)/(R)

vale a dire

sin(φ) = (3)/(2√(3)) → sin(φ) = (√(3))/(2) ; cos(φ) = (√(3))/(2√(3)) → cos(φ) = (1)/(2)

Dopo le dovute semplificazioni, otteniamo il sistema

sin(φ) = (√(3))/(2) ; cos(φ) = (1)/(2)

soddisfatto da

φ = 60°

Noti R e φ, siamo in grado di costruire l'equazione equivalente

2√(3)sin(x+60°) = √(3)

dalla quale

sin(x+60°) = (1)/(2)

Ricordando che il seno di un angolo coincide con (1)/(2) se l'angolo vale

30°+360°k ∨ 150°+360°k

otteniamo le equazioni di primo grado nell'incognita x

x+60° = 30°+360°k → x = -30°+360° k ; x+60° = 150°+360°k → x = 90°+360° k

Il rappresentante della prima famiglia di soluzioni, ossia -30°, può essere cambiato in favore dell'angolo corrispondente riferito al cosiddetto "primo giro" della circonferenza

-30° → 330°

dunque siamo autorizzati a scrivere le soluzioni come

x = 330°+360° k ∨ x = 90°+360°k

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Omega, ragazza
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Os