Sistema di equazione con equazione esponenziale e irrazionale

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Sistema di equazione con equazione esponenziale e irrazionale #37932

avt
matteo
Sfera
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un sistema di equazioni in due incognite con esponenziali e radici. Il nostro professore ha suggerito di avvalerci della legge di annullamento del prodotto, spezzando il sistema in due o più sistemi più semplici.

Determinare tutte le coppie che soddisfano contemporaneamente le equazioni del seguente sistema:

\begin{cases}(e^{xy}-1)(e^{x}-e^{y-1})=0 \\ \\ \sqrt{x^2+y^2-3}=x\end{cases}

Grazie.
 
 

Sistema di equazione con equazione esponenziale e irrazionale #37935

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro intento consiste nel determinare l'insieme delle soluzioni associato al seguente sistema di equazioni

\begin{cases}(e^{xy}-1)(e^{x}-e^{y-1})=0 \\ \\ \sqrt{x^2+y^2-3}=x\end{cases}

Per prima cosa imponiamo le condizioni di esistenza: affinché la radice quadrata sia ben definita occorre richiedere che il suo radicando sia positivo o al più nullo, cioè

C.E. \ : \ x^2+y^2-3\ge 0

Affinché una coppia (x,y) sia soluzione del sistema, le sue coordinate dovranno rispettare il vincolo.

Osservazione di carattere geometrico

La relazione x^2+y^2-3\ge 0 individua la parte del piano cartesiano esterna alla circonferenza (inclusa) di equazione x^2+y^2=3, avente centro nell'origine degli assi e raggio R=\sqrt{3}.

Esaminiamo le equazioni del sistema, dando precedenza alla prima:

(e^{xy}-1)(e^{x}-e^{y-1})=0

In virtù della legge di annullamento del prodotto, la relazione si spezza nelle seguenti equazioni esponenziali:

\\ e^{xy}-1=0 \ \ \ \to \ \ \ e^{x y}=1 \ \ \ \to \ \ \ x y=0 \\ \\ \mbox{e} \\ \\ e^{x}-e^{y-1}=0 \ \ \ \to \ \ \ e^{x}=e^{y-1}\ \ \ \to \ \ \ x=y-1

Siamo autorizzati ad asserire che l'equazione

(e^{xy}-1)(e^{x}-e^{y-1})=0

è equivalente alle seguenti

x y=0 \ \ \ \vee \ \ \ x=y-1

dove \vee è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "oppure".

Le informazioni in nostro possesso consentono di scindere il sistema

\begin{cases}(e^{xy}-1)(e^{x}-e^{y-1})=0 \\ \\ \sqrt{x^2+y^2-3}=x\end{cases}

come segue:

\begin{cases}x y=0 \\ \\ \sqrt{x^2+y^2-3}=x\end{cases}\ \ \ \bigcup \ \ \ \begin{cases}x=y-1\\ \\ \sqrt{x^2+y^2-3}=x\end{cases}

In altre parole, l'insieme delle soluzioni del sistema iniziale coincide con l'unione degli insiemi soluzione dei due sistemi ottenuti.

Esaminiamo il primo sistema

\begin{cases}x y=0 \\ \\ \sqrt{x^2+y^2-3}=x\end{cases}

Per la legge di annullamento del prodotto, xy=0 se e solo se x=0 oppure y=0. Nel primo caso, ossia se x=0, la relazione

\sqrt{x^2+y^2-3}=x

si tramuta nell'equazione irrazionale nella sola incognita y:

\sqrt{y^2-3}=0

soddisfatta nel momento in cui è il radicando a essere nullo.

y^2-3=0 \ \ \ \to \ \ \ y^2=3 \ \ \ \to \ \ \ y=-\sqrt{3} \ \ \vee \ \ y=\sqrt{3}

Se invece è y a essere uguale a zero, la seconda relazione diventa

\sqrt{x^2-3}=x

Per ricavarne le soluzioni occorre:

- imporre le condizioni di esistenza

x^2-3\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x^2\ge 3 \ \ \ \to \ \ \ x\le -\sqrt{3} \ \ \ \vee \ \ \ x\ge \sqrt{3}

- imporre le condizioni di concordanza: poiché il primo membro è certamente positivo o nullo, dovrà esserlo anche il secondo membro!

x\ge 0

- Elevare al quadrato i due membri per fare in modo che la radice quadrata sparisca:

(\sqrt{x^2-3})^2=x^2 \ \ \ \to \ \ \ x^2-3=x^2 \ \ \ \to \ \ \ -3=0

Abbiamo ottenuto un'uguaglianza falsa, di conseguenza la condizione y=0 non produce alcuna soluzione del sistema

\begin{cases}x y=0 \\ \\ \sqrt{x^2+y^2-3}=x\end{cases}

Le uniche coppie che lo soddisfano sono:

(x,y)=(0,-\sqrt{3}) \ \ \ , \ \ \ (x,y)=(0,\sqrt{3})

Per determinare le eventuali coppie che soddisfano il sistema

\begin{cases}x=y-1\\ \\ \sqrt{x^2+y^2-3}=x\end{cases}

procediamo per sostituzione: basta rimpiazzare x con y-1 e risolvere l'equazione irrazionale nell'incognita y.

Se x=y-1, la relazione

\sqrt{x^2+y^2-3}=x

si tramuta in

\sqrt{(y-1)^2+y^2-3}=y-1

che, sviluppato il quadrato di binomio (y-1)^2 e sommati tra loro i monomi simili, diventa

\sqrt{2y^2-2y-2}=y-1

Risolviamola con la strategia standard per le equazioni irrazionali: imporremo la condizione di esistenza (radicando positivo o nullo), la condizione di concordanza e infine eleveremo al quadrato i due membri.

La condizione di esistenza (o per meglio dire la condizione di realtà) si traduce nella disequazione di secondo grado

2y^2-2y-2\ge 0

che è soddisfatta per

y\le\frac{1-\sqrt{5}}{2} \ \ \ \vee \ \ \ y\ge \frac{1+\sqrt{5}}{2}

dove \frac{1\pm\sqrt{5}}{2} sono le soluzioni dell'equazione associata.

Per quanto concerne la condizione di concordanza, poiché \sqrt{2y^2-2y-2} è certamente una quantità non negativa, dovrà necessariamente essere positivo anche il secondo membro, ossia deve valere la disequazione:

y-1\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ y\ge 1

Se le condizioni di esistenza e di concordanza sono soddisfatte, possiamo tranquillamente elevare al quadrato i membri dell'equazione

\sqrt{2y^2-2y-2}=y-1

così da ricavare la relazione

2y^2-2y-2=(y-1)^2

Sviluppato il quadrato di binomio al secondo membro e sommati tra loro i monomi simili, ci riconduciamo all'equazione pura avente per soluzioni i valori da attribuire all'indeterminata y

y^2=3 \ \ \ \to \ \ \ y=-\sqrt{3} \ \ \ \vee \ \ \ y=\sqrt{3}

Attenzione! y=-\sqrt{3} non rispetta la condizione di concordanza (y\ge 1) di conseguenza è un falso positivo e non è soluzione dell'equazione:

\sqrt{2y^2-2y-2}=y-1

mentre è soluzione y=\sqrt{3} perché rispetta tutti i vincoli imposti (esistenza e concordanza).

A questo punto, non ci resta che associare a y=\sqrt{3} il rispettivo valore di x avvalendoci della relazione x=y-1

x=\sqrt{3}-1

e scrivere la coppia soluzione

(x,y)=(\sqrt{3}-1, \sqrt{3})

L'analisi dei due sistemi è finalmente terminata e abbiamo tutte le informazioni necessarie a concludere che le coppie che soddisfano il sistema

\begin{cases}(e^{xy}-1)(e^{x}-e^{y-1})=0 \\ \\ \sqrt{x^2+y^2-3}=x\end{cases}

sono

(x,y)=(0,-\sqrt{3}) \ \ \ , \ \ \ (x,y)=(0,\sqrt{3})\ \ \ \mbox{e} \ \ \ (x,y)=(\sqrt{3}-1,\sqrt{3})

Abbiamo finito!
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