Sistema di equazione con equazione esponenziale e irrazionale

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Sistema di equazione con equazione esponenziale e irrazionale #37932

avt
matteo
Sfera
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un sistema di equazioni in due incognite con esponenziali e radici. Il nostro professore ha suggerito di avvalerci della legge di annullamento del prodotto, spezzando il sistema in due o più sistemi più semplici.

Determinare tutte le coppie che soddisfano contemporaneamente le equazioni del seguente sistema:

(e^(xy)-1)(e^(x)-e^(y-1)) = 0 ; √(x^2+y^2-3) = x

Grazie.
 
 

Sistema di equazione con equazione esponenziale e irrazionale #37935

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro intento consiste nel determinare l'insieme delle soluzioni associato al seguente sistema di equazioni

(e^(xy)-1)(e^(x)-e^(y-1)) = 0 ; √(x^2+y^2-3) = x

Per prima cosa imponiamo le condizioni di esistenza: affinché la radice quadrata sia ben definita occorre richiedere che il suo radicando sia positivo o al più nullo, cioè

C.E. : x^2+y^2-3 ≥ 0

Affinché una coppia (x,y) sia soluzione del sistema, le sue coordinate dovranno rispettare il vincolo.

Osservazione di carattere geometrico

La relazione x^2+y^2-3 ≥ 0 individua la parte del piano cartesiano esterna alla circonferenza (inclusa) di equazione x^2+y^2 = 3, avente centro nell'origine degli assi e raggio R = √(3).

Esaminiamo le equazioni del sistema, dando precedenza alla prima:

(e^(xy)-1)(e^(x)-e^(y-1)) = 0

In virtù della legge di annullamento del prodotto, la relazione si spezza nelle seguenti equazioni esponenziali:

e^(xy)-1 = 0 → e^(x y) = 1 → x y = 0 ; e ; e^(x)-e^(y-1) = 0 → e^(x) = e^(y-1) → x = y-1

Siamo autorizzati ad asserire che l'equazione

(e^(xy)-1)(e^(x)-e^(y-1)) = 0

è equivalente alle seguenti

x y = 0 ∨ x = y-1

dove ∨ è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "oppure".

Le informazioni in nostro possesso consentono di scindere il sistema

(e^(xy)-1)(e^(x)-e^(y-1)) = 0 ; √(x^2+y^2-3) = x

come segue:

x y = 0 ; √(x^2+y^2-3) = x U x = y-1 ; √(x^2+y^2-3) = x

In altre parole, l'insieme delle soluzioni del sistema iniziale coincide con l'unione degli insiemi soluzione dei due sistemi ottenuti.

Esaminiamo il primo sistema

x y = 0 ; √(x^2+y^2-3) = x

Per la legge di annullamento del prodotto, xy = 0 se e solo se x = 0 oppure y = 0. Nel primo caso, ossia se x = 0, la relazione

√(x^2+y^2-3) = x

si tramuta nell'equazione irrazionale nella sola incognita y:

√(y^2-3) = 0

soddisfatta nel momento in cui è il radicando a essere nullo.

y^2-3 = 0 → y^2 = 3 → y = -√(3) ∨ y = √(3)

Se invece è y a essere uguale a zero, la seconda relazione diventa

√(x^2-3) = x

Per ricavarne le soluzioni occorre:

- imporre le condizioni di esistenza

x^2-3 ≥ 0 → x^2 ≥ 3 → x ≤ -√(3) ∨ x ≥ √(3)

- imporre le condizioni di concordanza: poiché il primo membro è certamente positivo o nullo, dovrà esserlo anche il secondo membro!

x ≥ 0

- Elevare al quadrato i due membri per fare in modo che la radice quadrata sparisca:

(√(x^2-3))^2 = x^2 → x^2-3 = x^2 → -3 = 0

Abbiamo ottenuto un'uguaglianza falsa, di conseguenza la condizione y = 0 non produce alcuna soluzione del sistema

x y = 0 ; √(x^2+y^2-3) = x

Le uniche coppie che lo soddisfano sono:

(x,y) = (0,-√(3)) , (x,y) = (0,√(3))

Per determinare le eventuali coppie che soddisfano il sistema

x = y-1 ; √(x^2+y^2-3) = x

procediamo per sostituzione: basta rimpiazzare x con y-1 e risolvere l'equazione irrazionale nell'incognita y.

Se x = y-1, la relazione

√(x^2+y^2-3) = x

si tramuta in

√((y-1)^2+y^2-3) = y-1

che, sviluppato il quadrato di binomio (y-1)^2 e sommati tra loro i monomi simili, diventa

√(2y^2-2y-2) = y-1

Risolviamola con la strategia standard per le equazioni irrazionali: imporremo la condizione di esistenza (radicando positivo o nullo), la condizione di concordanza e infine eleveremo al quadrato i due membri.

La condizione di esistenza (o per meglio dire la condizione di realtà) si traduce nella disequazione di secondo grado

2y^2-2y-2 ≥ 0

che è soddisfatta per

y ≤ (1-√(5))/(2) ∨ y ≥ (1+√(5))/(2)

dove (1±√(5))/(2) sono le soluzioni dell'equazione associata.

Per quanto concerne la condizione di concordanza, poiché √(2y^2-2y-2) è certamente una quantità non negativa, dovrà necessariamente essere positivo anche il secondo membro, ossia deve valere la disequazione:

y-1 ≥ 0 → y ≥ 1

Se le condizioni di esistenza e di concordanza sono soddisfatte, possiamo tranquillamente elevare al quadrato i membri dell'equazione

√(2y^2-2y-2) = y-1

così da ricavare la relazione

2y^2-2y-2 = (y-1)^2

Sviluppato il quadrato di binomio al secondo membro e sommati tra loro i monomi simili, ci riconduciamo all'equazione pura avente per soluzioni i valori da attribuire all'indeterminata y

y^2 = 3 → y = -√(3) ∨ y = √(3)

Attenzione! y = -√(3) non rispetta la condizione di concordanza (y ≥ 1) di conseguenza è un falso positivo e non è soluzione dell'equazione:

√(2y^2-2y-2) = y-1

mentre è soluzione y = √(3) perché rispetta tutti i vincoli imposti (esistenza e concordanza).

A questo punto, non ci resta che associare a y = √(3) il rispettivo valore di x avvalendoci della relazione x = y-1

x = √(3)-1

e scrivere la coppia soluzione

(x,y) = (√(3)-1, √(3))

L'analisi dei due sistemi è finalmente terminata e abbiamo tutte le informazioni necessarie a concludere che le coppie che soddisfano il sistema

(e^(xy)-1)(e^(x)-e^(y-1)) = 0 ; √(x^2+y^2-3) = x

sono

(x,y) = (0,-√(3)) , (x,y) = (0,√(3)) e (x,y) = (√(3)-1,√(3))

Abbiamo finito!
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