Disequazione trigonometrica fratta, esercizio

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Disequazione trigonometrica fratta, esercizio #37740

avt
depe_
Cerchio
Ciao, non riesco a risolvere questa disequazione trigonometrica fratta, mi potreste aiutare?

\frac{\sqrt{3}\tan(x)-1}{\sin(x)(\cos^2(x)+1)}>0

Il problema è che non so se devo trasformare la tangente nel rapporto seno/coseno e poi comunque non riesco a continuare.
 
 

Disequazione trigonometrica fratta, esercizio #37762

avt
Omega
Amministratore
Ciao Depe,

la disequazione trigonometrica che proponi è una disequazione fratta, e per risolverla devi studiare separatamente il segno di numeratore e denominatore.

\frac{\sqrt{3}\tan(x)-1}{\sin(x)(\cos^2(x)+1)}>0

Devi risolvere a parte le disequazioni

\\ \mbox{Numeratore}> 0\\ \\ \mbox{Denominatore}> 0

e poi confrontare le soluzioni con un grafico dei segni per desumere gli intervalli sui quali l'intera frazione è positiva o negativa.

È importante notare che numeratore e denominatore vanno posti maggiori di zero a prescindere dal simbolo di disequazione relativo alla frazione, di cui bisogna tenere conto solo alla fine, quando dal grafico dei segni si scelgono le soluzioni della disequazione.

Nel nostro caso

\\ N>0\to \tan{(x)}>\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \\ D>0\to \sin{(x)}[\cos^2{(x)}+1]>0

Risolvi entrambe le disequazioni nell'intervallo [0,2\pi], dopodiché alla fine estendi le soluzioni all'intero asse reale per periodicità.

La prima delle due disequazioni è immediata, basta ricordare che la tangente vale \frac{1}{\sqrt{3}} in x=\frac{\pi}{6} e in x=\frac{7\pi}{6} (in caso di necessità puoi usare la tabella dei valori delle funzioni trigonometriche).

Quindi

N>0\to \frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{2}\vee \frac{7\pi}{6}<x<\frac{3\pi}{2}

Per il denominatore bisogna procedere con la regola dei segni

\\ D_1>0\to \sin{(x)}>0\ \to\ 0<x<\pi\\ \\ D_2>0\ \to\ \cos^2{(x)}>-1\to \forall x

(perché un quadrato è una quantità non negativa ed è certamente maggiore di una quantità negativa).

Non ti resta che confrontare i segni nel grafico di disequazione e selezionare le soluzioni che rendono l'intera frazione positiva.
Ringraziano: Pi Greco, depe_, AlphaBeta

Disequazione trigonometrica fratta, esercizio #37769

avt
depe_
Cerchio
Grazie mille, ora provo a farlo..
Ringraziano: Omega
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Os