Polinomio con termini binomi da scomporre e semplificare

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Polinomio con termini binomi da scomporre e semplificare #37525

avt
Dennis
Banned
Dovrei semplificare il più possibile un'espressione algebrica, utilizzando le regole sulla somma e differenza di cubi. Di per sé l'espressione non sembra difficile, ma non riesco a riconoscere le basi delle potenze terze.

\left[1+(x y-1)^3\right]-\left[(1-2xy)^3-(1+2xy)^3\right]

Come procedo?
 
 

Polinomio con termini binomi da scomporre e semplificare #37544

avt
Volpi
Frattale
Il problema chiede esplicitamente di utilizzare la regola di scomposizione della somma di cubi e quella relativa alla differenza di cubi per poter semplificare l'espressione

\left[1+(x y-1)^3\right]-\left[(1-2xy)^3-(1+2xy)^3\right]=

Per prima cosa lavoriamo sulla somma di cubi presente nella prima coppia di parentesi quadre, osservando che le basi sono rispettivamente A=1\ \mbox{e} \ B=xy-1

=[(1+(xy-1))(1^2-1\cdot (x y-1)+(xy-1)^2)]-\left[(1-2xy)^3-(1+2xy)^3\right]=

Sviluppiamo il quadrato di binomio e sommiamo tra loro i termini simili

\\ =[(1+x y-1)(1-x y+1+(x y)^2-2xy+1)]-\left[(1-2xy)^3-(1+2xy)^3\right]= \\ \\ =[xy(3-3xy+x^2y^2)]-\left[(1-2xy)^3-(1+2xy)^3\right]= \\ \\ =3xy-3x^2 y^2+x^3 y^3-[(1-2xy)^3-(1+2x y)^3]=

Ora concentriamo le nostre attenzioni sulla differenza di cubi nelle parentesi quadre. Le basi dei cubi sono rispettivamente A=1-2xy\ \mbox{e} \ B=1+2xy e in accordo con la formula sulla differenza di cubi, ricaviamo

\\ =3xy-3x^2 y^2+x^3 y^3+\\ \\ -[(1-2x y-(1+2xy))((1-2xy)^2+(1-2xy)(1+2xy)+(1+2xy)^2)]=

Con la calma necessaria, svolgiamo il quadrato di binomio e il prodotto tra la somma e la differenza

\\ =3xy-3x^2 y^2+x^3y^3-\left[-4xy(1-4xy+4x^2y^2+1-4x^2y^2+1+4xy+4x^2y^2)\right]= \\ \\ =3xy-3x^2y^2+x^3y^3-[-4xy(3+4x^2y^2)]=

Eseguiamo i vari prodotti e sommiamo infine tra loro i termini simili

\\ =3xy-3x^2y^2+x^3y^3+12x y+16 x^3y^3=\\ \\ =15x y-3x^2y^2+17x^3y^3

Abbiamo fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os