Polinomio con termini binomi da scomporre e semplificare

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Polinomio con termini binomi da scomporre e semplificare #37525

avt
Dennis
Banned
Dovrei semplificare il più possibile un'espressione algebrica, utilizzando le regole sulla somma e differenza di cubi. Di per sé l'espressione non sembra difficile, ma non riesco a riconoscere le basi delle potenze terze.

[1+(x y-1)^3]-[(1-2xy)^3-(1+2xy)^3]

Come procedo?
 
 

Polinomio con termini binomi da scomporre e semplificare #37544

avt
Volpi
Frattale
Il problema chiede esplicitamente di utilizzare la regola di scomposizione della somma di cubi e quella relativa alla differenza di cubi per poter semplificare l'espressione

[1+(x y-1)^3]-[(1-2xy)^3-(1+2xy)^3] =

Per prima cosa lavoriamo sulla somma di cubi presente nella prima coppia di parentesi quadre, osservando che le basi sono rispettivamente A = 1 e B = xy-1

= [(1+(xy-1))(1^2-1·(x y-1)+(xy-1)^2)]-[(1-2xy)^3-(1+2xy)^3] =

Sviluppiamo il quadrato di binomio e sommiamo tra loro i termini simili

= [(1+x y-1)(1-x y+1+(x y)^2-2xy+1)]-[(1-2xy)^3-(1+2xy)^3] = [xy(3-3xy+x^2y^2)]-[(1-2xy)^3-(1+2xy)^3] = 3xy-3x^2 y^2+x^3 y^3-[(1-2xy)^3-(1+2x y)^3] =

Ora concentriamo le nostre attenzioni sulla differenza di cubi nelle parentesi quadre. Le basi dei cubi sono rispettivamente A = 1-2xy e B = 1+2xy e in accordo con la formula sulla differenza di cubi, ricaviamo

= 3xy-3x^2 y^2+x^3 y^3+;-[(1-2x y-(1+2xy))((1-2xy)^2+(1-2xy)(1+2xy)+(1+2xy)^2)] =

Con la calma necessaria, svolgiamo il quadrato di binomio e il prodotto tra la somma e la differenza

= 3xy-3x^2 y^2+x^3y^3-[-4xy(1-4xy+4x^2y^2+1-4x^2y^2+1+4xy+4x^2y^2)] = 3xy-3x^2y^2+x^3y^3-[-4xy(3+4x^2y^2)] =

Eseguiamo i vari prodotti e sommiamo infine tra loro i termini simili

= 3xy-3x^2y^2+x^3y^3+12x y+16 x^3y^3 = 15x y-3x^2y^2+17x^3y^3

Abbiamo fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco
  • Pagina:
  • 1
Os