Esercizio equazione fratta di grado 1 con CE

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Esercizio equazione fratta di grado 1 con CE #37522

avt
WhiteC
Frattale
Stavo risolvendo alcuni esercizi sulle equazioni di primo grado fratte quando mi è capitata un'equazione nella quale compaiono diversi polinomi di grado superiore a 1. Immagino che bisogna ricorrere alle scomposizioni, ma non capisco come.

Risolvere la seguente equazione fratta di primo grado

\frac{x^2+x+1}{x^3-1}-\frac{x^2-x+1}{x^3+1}-\frac{x}{x^2-1}=0
 
 

Esercizio equazione fratta di grado 1 con CE #37526

avt
Omega
Amministratore
Sebbene lo sembri affatto

\frac{x^2+x+1}{x^3-1}-\frac{x^2-x+1}{x^3+1}-\frac{x}{x^2-1}=0

è un'equazione fratta di primo grado: lo potremo verificare dopo aver svolto i calcoli e semplificato a dovere.

Innanzitutto cerchiamo di scomporre i polinomi che compaiono a denominatore.

Il primo è una differenza di cubi, pertanto possiamo scomporlo come segue:

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)

Il secondo denominatore è invece una somma di cubi

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

mentre l'ultimo è una differenza di quadrati

x^2-1=(x+1)(x-1)

Rimpiazziamo al posto dei denominatori le relative scomposizioni

\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{x^2-x+1}{(x+1)(x^2-x+1)}-\frac{x}{(x-1)(x+1)}=0

Prima di effettuare qualsiasi altra operazione, dobbiamo imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli: dovremo quindi analizzare tre disuguaglianze

(x-1)(x^2+x+1)\ne 0 \ \ \ ; \ \ \ (x+1)(x^2-x+1)\ne 0 \ \ \ ; \ \ \ (x-1)(x+1)\ne 0

Occupiamoci della prima

(x-1)(x^2+x+1)\ne 0

In virtù della legge di annullamento del prodotto, il primo membro è non nullo nel caso in cui i fattori lo compongono sono non nulli. Osserviamo inoltre che il fattore x^2+x+1 è un falso quadrato notevole il quale è notoriamente diverso da zero. Queste informazioni ci permettono di considerare esclusivamente la relazione

x-1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 1

Procediamo allo stesso modo per la seconda relazione, ossia:

(x+1)(x^2-x+1)\ne 0

Intervengono, anche in questo caso, la legge di annullamento del prodotto e l'osservazione fatta sui falsi quadrati notevoli, pertanto

x+1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -1

Per quanto concerne l'ultima disuguaglianza

(x-1)(x+1)\ne 0

sfruttiamo a nostro vantaggio la legge di annullamento del prodotto, grazie alla quale ci riconduciamo alle relazioni

\\ x-1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 1 \\ \\ x+1\en 0 \ \ \to \ \ x\ne -1

Siamo in grado quindi di esplicitare le condizioni di esistenza associati all'equazione:

C.E.: \ x\ne -1 \ \wedge \ x\ne 1

dove con il simbolo matematico \wedge indichiamo il connettivo logico "e".

Sotto i vincoli dettati dalle condizioni trovate possiamo semplificare le frazioni algebriche e riscrivere l'equazione in una forma più semplice

\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}-\frac{x}{(x-1)(x+1)}=0

Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore e esprimiamo come un unico rapporto il primo membro

\frac{x+1-(x-1)-x}{(x+1)(x-1)}=0

Sviluppiamo i calcoli al numeratore, prestando attenzione alla regola dei segni

\frac{x+1-x+1-x}{(x+1)(x-1)}=0

da cui

\frac{-x+2}{(x+1)(x-1)}=0

Sotto le condizioni di esisteza, possiamo cancellare il denominatore ricavando così l'equazione di primo grado

-x+2=0

che risolviamo isolando l'incognita a sinistra

-x=-2 \ \ \to \ \ x=2

x=2 soddisfa le condizioni di esistenza, pertanto è soluzione dell'equazione data. In definitiva concludiamo che l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è S=\{2\}.
Ringraziano: Pi Greco, WhiteC
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Os