Equazione con più logaritmi naturali

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Equazione con più logaritmi naturali #37371

avt
jennifer
Punto
Salve a tutti, ho un grosso problema con questo esercizio, riguarda un'equazione logaritmica in cui compaiono logaritmi con la stessa base ma con argomenti differenti:

\frac{1}{2}\log(9-x)= \log(3)+\frac{1}{2}\log(x)

Grazie del vostro aiuto!
Ringraziano: AleSecchia
 
 

Equazione con più logaritmi naturali #37376

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'equazione con i logaritmi di cui vogliamo determinare le soluzioni è:

\frac{1}{2}\log(9-x)= \log(3)+\frac{1}{2}\log(x)

Prima di procedere con i passaggi algebrici, dobbiamo necessariamente imporre le condizioni di esistenza che caratterizzano i logaritmi: richiederemo che gli argomenti dei logaritmi che contengono l'incognita siano contemporaneamente maggiori di zero. Impostiamo quindi il sistema di disequazioni

\begin{cases}9-x>0\\ \\ x>0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x<9\\ \\ x>0\end{cases}

da cui deduciamo che l'equazione è ben posta nel momento in cui l'incognita soddisfa il vincolo

C.E.:\ 0<x<9

Una volta determinato l'insieme di esistenza delle soluzioni, calcoliamo il minimo comune denominatore

\frac{\log(9-x)}{2}=\frac{2\log(3)+\log(x)}{2}

dopodiché moltiplichiamo i due membri per 2, ricavando così l'equazione equivalente

\log(9-x)=2\log(3)+\log(x)

Utilizzeremo le proprietà dei logaritmi: più precisamente facciamo uso della proprietà del logaritmo di una potenza

\log(A^B)=B\log(A) \ \ \ \mbox{con} \ A>0

che letta al contrario consente di esprimere 2\log(3) come \log(3^2)=\log(9) e rivedere l'equazione come

\log(9-x)= \log(9)+\log(x)

Interviene inoltre la regola sulla somma dei logaritmi, che consente appunto di esprimere la somma di due logaritmi con la stessa base come il logaritmo avente la stessa base e per argomento il prodotto degli argomenti

\log(A)+\log(B)=\log(AB)\ \ \ \mbox{con}\ A>0, \ B>0

La semplice regola consente di rielaborare l'equazione nella forma

\log(9-x)=\log(9x)

Affinché i due logaritmi siano uguali richiediamo che l'argomento del primo sia uguale all'argomento del secondo ricavando così la seguente equazione di primo grado:

9-x=9x\ \ \ \to \ \ \ 10x=9 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{9}{10}

Il valore x=\frac{9}{10} soddisfa le condizioni di esistenza, di conseguenza esso è soluzione dell'equazione data.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, jennifer
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Os