Equazione con più logaritmi naturali

Salve a tutti, ho un grosso problema con questo esercizio, riguarda un'equazione logaritmica in cui compaiono logaritmi con la stessa base ma con argomenti differenti:



Grazie del vostro aiuto!

L'equazione con i logaritmi di cui vogliamo determinare le soluzioni è:



Prima di procedere con i passaggi algebrici, dobbiamo necessariamente imporre le condizioni di esistenza che caratterizzano i logaritmi: richiederemo che gli argomenti dei logaritmi che contengono l'incognita siano contemporaneamente maggiori di zero. Impostiamo quindi il sistema di disequazioni



da cui deduciamo che l'equazione è ben posta nel momento in cui l'incognita soddisfa il vincolo



Una volta determinato l'insieme di esistenza delle soluzioni, calcoliamo il minimo comune denominatore



dopodiché moltiplichiamo i due membri per 2, ricavando così l'equazione equivalente



Utilizzeremo le proprietà dei logaritmi: più precisamente facciamo uso della proprietà del logaritmo di una potenza



che letta al contrario consente di esprimere come e rivedere l'equazione come



Interviene inoltre la regola sulla somma dei logaritmi, che consente appunto di esprimere la somma di due logaritmi con la stessa base come il logaritmo avente la stessa base e per argomento il prodotto degli argomenti



La semplice regola consente di rielaborare l'equazione nella forma



Affinché i due logaritmi siano uguali richiediamo che l'argomento del primo sia uguale all'argomento del secondo ricavando così la seguente equazione di primo grado:



Il valore soddisfa le condizioni di esistenza, di conseguenza esso è soluzione dell'equazione data.