Disequazione goniometrica fratta con tangente e seno

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Disequazione goniometrica fratta con tangente e seno #37351

  • ZioNiko
  • avt
  • Punto
Ciao, mi potreste spiegare la risoluzione di questa disequazione goniometrica fratta?

\frac{\tan^{2}x-1}{2\sin x+1}\leq 0\mbox{ con }0\leq x\leq 2\pi

Per la risoluzione usiamo il grafico della funzione goniometrica presente, ma in questo caso non so come si possa fare e se convenga o meno.

Grazie mille in anticipo!

 
 
 

Disequazione goniometrica fratta con tangente e seno #37361

  • Omega
  • avt
  • Amministratore
Ciao!

La condizione 0\leq x\leq 2\pi ti impone di risolvere la disequazione limitando le soluzioni all'intervallo 0\leq x\leq 2\pi, cioè limitando le funzioni goniometriche ad un angolo giro della circonferenza goniometrica.

Nota che la disequazione goniometrica

\frac{\tan^{2}x-1}{2\sin x+1}\leq 0

è una disequazione fratta, dunque bisogna studiare separatamente il segno di numeratore e denominatore, ponendoli entrambi maggiori di zero. Successivamente si confrontano i risultati ottenuti per capire quali intervalli garantiscono che l'intera frazione abbia segno negativo o nullo, come richiesto dalla disequazione

N>0)\mbox{ }\tan^2{(x)}-1\geq 0

equivale a

\tan{(x)}\leq -1\vee \tan{(x)}\geq +1

dove \tan{(x)}\leq -1 ha soluzioni limitate all'intervallo 0\leq x\leq 2\pi date da

(\bullet) \frac{\pi}{2}<x\leq \frac{3\pi}{4}\vee \frac{3\pi}{2}<x\leq \frac{7\pi}{4}

Abbiamo poi \tan{(x)}\geq +1, che ha soluzioni

(\bullet\bullet) \frac{\pi}{4}\leq x<\frac{\pi}{2}\vee \frac{5\pi}{4}<x< \frac{3\pi}{2}

Il numeratore è dunque positivo o nullo su (\bullet) unito a (\bullet\bullet), negativo sui restanti intervalli della circonferenza unitaria.

---

D>0)\mbox{ }2\sin{(x)}+1>0

la disequazione per il segno del denominatore equivale a

\sin{(x)}>-\frac{1}{2}

ed ha soluzioni

\frac{7\pi}{6}< x< \frac{11\pi}{6}

---

Ora non ti resta che confrontare il segno di numeratore e denominatore con un opportuno grafico dei segni e prendere gli intervalli sui quali il prodotto dei segni di numeratore e denominatore è negativo/nullo.

Ringraziano: Pi Greco, ZioNiko
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