Formula per la somma dei cubi dei primi n interi pari (induzione)

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Formula per la somma dei cubi dei primi n interi pari (induzione) #37041

avt
Mt96
Punto
Ciao a tutti, sono nuovo del forum, qualcuno sa spiegarmi come dimostrare utilizzando il principio di induzione una formula sulla somma di n potenze al cubo?

2^(3)+4^(3)+6^(3)+...+(2n)^(3) = 2n^(2)(n+1)^(2)

Devo, appunto, dimostrare la precedente uguaglianza tramite il principio di induzione, e in particolare mi trovo in difficoltà per il passo n+1.

Grazie a tutti.
 
 

Formula per la somma dei cubi dei primi n interi pari (induzione) #37057

avt
Omega
Amministratore
Ciao Mt96 emt

Ancor prima di procedere con la risoluzione dell'esercizio, ti invito a leggere questa discussione e le discussioni correlate: sul principio di induzione, con alcuni esempi.

Se poi vuoi trovare altri esempi, ti suggerisco di utilizzare la barra di ricerca. emt

Nel caso considerato dobbiamo dimostrare che:

- la tesi è verificata al passo induttivo iniziale, che qui è dato da n = 1;

- supporre la tesi vera per n ne implica la validità per n+1 (passo induttivo).

E' facile vedere che la tesi vale per n = 1:

(2n)^3 = 2(2)^2

Per quanto riguarda il passo induttivo, invece, supponiamo che

2^2+4^3+...+(2n)^3 = 2n^2(n+1)^2

Vogliamo dimostrare che

2^2+4^3+...+(2n)^3+(2(n+1))^3 = 2(n+1)^2(n+2)^2

Per farlo consideriamo il membro di sinistra nell'uguaglianza della tesi

2^2+4^3+...+(2n)^3+(2(n+1))^3 =

e cominciamo sfruttando l'ipotesi induttiva: la somma di tutti i termini escluso l'ultimo ha un valore dato dall'ipotesi del passo induttivo

= 2n^2(n+1)^2+(2(n+1))^3 =

facciamo i conti

= 2n^4+12n^3+26n^2+24n+8 =

= 2(n^4+6n^3+13n^2+12n+4) =

A questo punto puoi trattare il precedente polinomio come un polinomio a coefficienti reali e scomporlo con il metodo di Ruffini. Le radici del polinomio sono proprio -1 e -2 con molteplicità algebrica 2, per cui il polinomio si scompone come

= 2(n^4+6n^3+13n^2+12n+4) = 2(n+1)^2(n+2)^2

Il passo induttivo è dimostrato:

2^2+4^3+...+(2n)^3+(2(n+1))^3 = 2(n+1)^2(n+2)^2

da cui la conclusione della dimostrazione. emt

EDIT: [Mod] Sposto la discussione dalla categoria generica "Scuole Superiori" alla categoria "Espressioni, Polinomi,...[Algebra]" [/Mod]
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit, 21zuclo, CarFaby

Re: Formula per la somma dei cubi dei primi n interi pari (induzione) #37081

avt
Mt96
Punto
Grazie mille , sei stato molto esauriente !
Ringraziano: Omega

Re: Formula per la somma dei cubi dei primi n interi pari (induzione) #37106

avt
Bruno
Punto
Ciao emt
1) Base dell'induzione.

Se non specificato si sceglie n = 1. Comunque, se non dovesse verificarsi, continuare a tentare: a volte si verifica qualche valore di n dopo.
Nel caso proposto:

Se n = 1 (cioè solo il primo termine) l'uguaglianza da verificare si riduce a:

2^3 = 2*1^2(1+1)^2 = 2^3

emt ha funzionato!

2) Passo induttivo.

Ipotesi: l'uguaglianza è vera per n = k, cioè:
2^3+4^3+6^3+...+(2k)^3 = 2k^2(k+1)^2

Tesi: l'uguaglianza è vera per n = k+1, cioè:
2^3+4^3+6^3+...+(2k)^3+[2(k+1)]^3 = 2(k+1)^2(k+2)^2.

Partiamo dal primo membro della tesi: se riusciamo ad eguagliarlo al suo secondo membro siamo a posto!

Notiamo che il primo membro della tesi:

2^3+4^3+6^3+...+(2k)^3+[2(k+1)]^3 =

contiene il primo membro dell'ipotesi; pertanto possiamo sostituire quella parte del secondo membro che equivale al primo membro dell'ipotesi con il suo secondo membro (dell'ipotesi), ottenendo:

= 2k^2(k+1)^2+[2(k+1)]^3 = 2k^2(k+1)^2+8(k+1)^3 =

Osserviamo il secondo membro della tesi, al quale vogliamo giungere. Esso contiene il binomio (k+1), che domina la nostra espressione. emt Non conviene allora sviluppare il quadrato emt e il cubo emt del binomio (k+1) presenti in essa, ma raccoglierlo a fattor comune col suo massimo esponente possibile; dato che anche 2 è in comune, evidenziamo l'espressione 2(k+1)^2, ottenendo:

= 2(k+1)^2(k^2+4k+4) =

= 2(k+1)^2(k+2)^2.

Ecco la nostra tesi! emt

Ciao emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, matteo, CarFaby

Re: Formula per la somma dei cubi dei primi n interi pari (induzione) #37266

avt
Mt96
Punto
Grazie anche a te Bruno, ora finalmente ho capito emt
  • Pagina:
  • 1
Os