Sistema di equazioni logaritmiche

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Sistema di equazioni logaritmiche #36959

avt
frida
Cerchio
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un sistema in due equazioni logaritmiche e in due incognite. La traccia stessa fornisce la strategia risolutiva da seguire, suggerendo di procedere per sostituzione e risolvere il sistema linearizzato con il metodo di Cramer.

Risolvere il seguente sistema di equazioni logaritmiche

\begin{cases}\dfrac{1}{2}\log_{3}(x+y)+2\log_{3}(x-y)=1\\ \\ \log_{3}(x+y)+2\log_{3}(x-y)=0\end{cases}

Suggerimento: usa un'opportuna sostituzione per ricondurti a un sistema lineare e utilizza il metodo di Cramer.

Grazie.
Ringraziano: Omega, LittleMar, Ifrit
 
 

Sistema di equazioni logaritmiche #36982

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il sistema di equazioni logaritmiche

\begin{cases}\dfrac{1}{2}\log_{3}(x+y)+2\log_{3}(x-y)=1\\ \\ \log_{3}(x+y)+2\log_{3}(x-y)=0\end{cases}

e proponiamoci l'obbiettivo di ricavare le coppie (x,y) le cui coordinate soddisfano contemporaneamente le due relazioni.

Affinché i logaritmi siano ben posti, richiediamo che i loro argomenti siano positivi, ossia imponiamo i vincoli:

x+y>0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x-y>0

Esse sono effettivamente le condizioni di esistenza e individuano la parte del piano cartesiano che giace al di sopra della bisettrice del secondo e del quarto quadrante y=-x e al di sotto della bisettrice del primo e del terzo quadrante.

C.E. \ : \ y>-x\ \ \ \wedge \ \ \ y<x

Dopo aver esplicitato i vincoli cui devono sottostare x\ \mbox{e} \ y, occupiamoci del sistema

\begin{cases}\dfrac{1}{2}\log_{3}(x+y)+2\log_{3}(x-y)=1\\ \\ \log_{3}(x+y)+2\log_{3}(x-y)=0\end{cases}

e risolviamolo avvalendoci delle seguenti sostituzioni

X=\log_{3}(x+y)\ \ \ \mbox{e}\ \ \ Y=\log_{3}(x-y)

mediante le quali ci riconduciamo al sistema lineare

\begin{cases}\dfrac{1}{2}X+2Y=1 \\ \\ X+2Y=0\end{cases}

Se moltiplichiamo per due i termini della prima equazione, il sistema diventa

\begin{cases}X+4Y=2\\ \\ X+2Y=0\end{cases}

Per ricavare le eventuali coppie soluzione (X,Y), possiamo avvalerci del metodo di Cramer.

Costruiamo quindi la matrice dei coefficienti, ossia la tabella avente per entrate i coefficienti delle incognite

A=\begin{bmatrix}1&4\\ 1& 2\end{bmatrix}

e calcoliamone il suo determinante: essendo una matrice con due righe e con due colonne, il determinante è uguale alla differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale e il prodotto degli elementi della diagonale secondaria

\\ \mbox{D}=\mbox{det}(A)=1\cdot 2-4\cdot 1=\\ \\ =2-4=-2

Poiché il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero, il sistema lineare ammette un'unica soluzione. Se fosse stato uguale a zero, il sistema sarebbe stato indeterminato o impossibile.

Per ricavare la coppia soluzione, costruiamo le matrici A_{X}\ \mbox{e} \ A_{Y}, la prima delle quali si ottiene rimpiazzando la prima colonna di A con la colonna dei termini noti, mentre la seconda si ricava sostituendo la seconda colonna di A con la colonna dei termini noti.

A_{X}=\begin{bmatrix}2&4\\ 0&2\end{bmatrix}\ \ \ \mbox{e}\ \ \ A_{Y}=\begin{bmatrix}1&2\\ 1&0\end{bmatrix}

Calcoliamo sia il determinante di A_{X}, sia quello di A_{Y}

\\ \mbox{D}_{X}=\mbox{det}(A_{X})=2\cdot 2-4\cdot 0=4 \\ \\ \mbox{e} \\ \\ \mbox{D}_{Y}=\mbox{det}(A_{Y})=1\cdot 0 - 2\cdot 1=-2

e, infine, determiniamo i valori di X\ \mbox{e}\ Y con le formule:

\\ X=\frac{\mbox{D}_{X}}{\mbox{D}}=\frac{4}{-2}=-2 \\ \\ \\ Y=\frac{\mbox{D}_{Y}}{\mbox{D}}=\frac{-2}{-2}=1

Possiamo quindi affermare che il sistema

\begin{cases}X+4Y=2\\ \\ X+2Y=0\end{cases}

è soddisfatto dai seguenti valori di X\ \mbox{e} \ Y

\begin{cases}X=-2 \\ \\ Y=1\end{cases}

Purtroppo non abbiamo ancora finito, infatti dobbiamo ripristinare le incognite x\ \mbox{e} \ y! Tenendo conto che

X= \log_{3}(x+y)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ Y=\log_{3}(x-y)

le condizioni X=-2\ \mbox{e} \ Y=1 consentono di costruire il sistema di equazioni logaritmiche

\begin{cases}\log_{3}(x+y)=-2 \\ \\ \log_{3}(x-y)=1\end{cases}

Applichiamo ai membri delle equazioni la funzione esponenziale in base 3 così che spariscano il logaritmi

\begin{cases}x+y=3^{-2}\\ \\ x-y=3\end{cases}

e risolviamo il sistema procedendo con il metodo di sostituzione, usando la seconda relazione per esprimere x in termini di y

\begin{cases}x+y=3^{-2}\\ \\ x=3+y\end{cases}

Dopo aver usato la definizione di potenza con esponente negativo per esprimere 3^{-2} come \frac{1}{9} e dopo aver sostituito 3+y al posto di x nella prima equazione, il sistema diventa

\begin{cases}3+2y=\dfrac{1}{9}\\ \\ x=3+y\end{cases}

Determiniamo a questo punto il valore di y dalla prima relazione

\begin{cases}y=-\dfrac{13}{9}\\ \\ x=3+y\end{cases}

e sostituiamolo nella seconda così da ricavare il valore di x

\begin{cases}y=-\dfrac{13}{9}\\ \\ x=3-\dfrac{13}{9}=\dfrac{14}{9}\end{cases}

La coppia che si candida a soluzione del sistema di equazioni è

(x,y)=\left(\frac{14}{9}, -\frac{13}{9}\right)

e lo è effettivamente solo se le sue coordinate soddisfano contemporaneamente i vincoli:

y>-x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ y<x

Per x=\frac{14}{9}\ \mbox{e} \ y=-\frac{13}{9}, la disuguaglianza y>-x si tramuta in:

-\frac{13}{9}>-\frac{14}{9} \ \ \ \mbox{Vera}!

La disuguaglianza y<x diventa invece

-\frac{13}{9}<\frac{14}{9}\ \ \ \mbox{Vera}!

Ciò dimostra che le coordinate di \left(\frac{14}{9}, -\frac{13}{9}\right) soddisfano le condizioni di esistenza, pertanto la coppia è soluzione del sistema iniziale!
Ringraziano: LittleMar
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Os