Equazione in 2 incognite con seno

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Equazione in 2 incognite con seno #36909

avt
Volpi
Frattale
Ho grossissime difficoltà nel risolvere un'equazione goniometrica in due incognite. L'aspetto dell'equazione non è poi così tremendo a dire il vero, alla fin fine compare solo un seno. Ciò che mi spiazza è la richiesta dell'esercizio: mi chiede di rappresentare nel piano cartesiano il luogo geometrico definito dall'equazione in due incognite.

Data l'equazione goniometrica in due incognite

\sin(\pi(x-y))=0

una volta determinate le caratteristiche geometriche principali, rappresentare il luogo geometrico associato all'equazione.

Come si fa? Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, angiolet89
 
 

Equazione in 2 incognite con seno #36925

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo l'equazione in due incognite

\sin(\pi(x-y))=0

Il nostro obiettivo consiste nell'individuare il luogo geometrico associato e rappresentarlo nel piano cartesiano solo dopo aver ricavato le informazioni geometriche necessarie per la rappresentazione.

Per risolvere l'equazione è sufficiente ricordare che il seno di un angolo vale zero nel momento in cui l'angolo è un multiplo intero di \pi, vale a dire

\pi(x-y)=k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Divisi i due membri per \pi otteniamo la relazione

x-y=k\ \ \ \mbox{dove} \ k\in\mathbb{Z}

da cui

y=x-k\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Dal punto di vista geometrico, l'equazione individua un fascio improprio di rette con coefficiente angolare m=1 e ordinata all'origine dipendente da k, q=-k.

Il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano che soddisfano l'equazione coincide quindi con una famiglia di rette parallele alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Esercizi equazioni in due incognite XVII

L'esercizio è concluso.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar
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Os