Esercizio equazione fratta di primo grado con radici

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Esercizio equazione fratta di primo grado con radici #36908

avt
Kidan
Cerchio
Tra i molti esercizi sulle equazioni fratte di primo grado, me ne è capitato uno in cui compaiono dei radicali. Ho sempre avuto difficoltà nell'applicare correttamente le proprietà delle radici, ecco perché ho bisogno del vostro intervento.

Avvalendosi delle opportune proprietà dei radicali, risolvere la seguente equazione fratta di primo grado

\frac{x-\sqrt{2}}{x-\sqrt{3}}+\frac{x^2}{3-x^2}=\frac{2\sqrt{3}x-\sqrt{2}x-2\sqrt{6}}{x^2-3}
 
 

Esercizio equazione fratta di primo grado con radici #36916

avt
Ifrit
Amministratore
Il processo che conduce alle eventuali soluzioni dell'equazione fratta di primo grado

\frac{x-\sqrt{2}}{x-\sqrt{3}}+\frac{x^2}{3-x^2}=\frac{2\sqrt{3}x-\sqrt{2}x-2\sqrt{6}}{x^2-3}

non si discosta dalla strategia generale.

Per prima cosa scomponiamo i denominatori in fattori irriducibili. Stiamo particolarmente attenti alle differenze dei quadrati

3-x^2=(\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}+x)

e

x^2-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})

Rimpiazzando nell'equazione ricaviamo

\frac{x-\sqrt{2}}{x-\sqrt{3}}+\frac{x^2}{(\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}+x)}=\frac{2\sqrt{3}x-\sqrt{2}x-2\sqrt{6}}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}

Ora possiamo occuparci delle condizioni di esistenza pretendendo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli: ricordiamo infatti che non è possibile dividere per zero.

Il primo denominatore è non nullo se e solo se:

x-\sqrt{3}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne \sqrt{3}

Per quanto concerne il secondo denominatore, dobbiamo imporre la condizione

(\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}+x)\ne 0

Interviene la legge di annullamento del prodotto che garantisce la non nullità del primo membro a patto che entrambi i fattori siano non nulli, vale a dire

\\ \sqrt{3}-x\ne 0 \  \ \ \to \ \ x\ne \sqrt{3} \\ \\ \sqrt{3}+x\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -\sqrt{3}

Procediamo allo stesso modo per l'ultimo denominatore

(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\ne 0

da cui

\\ x+\sqrt{3}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -\sqrt{3} \\ \\ x-\sqrt{3}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne\sqrt{3}

Possiamo affermare che le condizioni di esistenza associate all'equazione sono

C.E.: \ x\ne -\sqrt{3} \ \wedge \ x\ne \sqrt{3}

dove \wedge indica il connettivo logico "e".

Ora che abbiamo determinato le condizioni di esistenza, possiamo procedere con la risoluzione dell'equazione, esprimendola in forma normale.

Portiamo tutte le frazioni al primo membro stando attenti ai segni

\frac{x-\sqrt{2}}{x-\sqrt{3}}+\frac{x^2}{(\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}+x)}-\frac{2\sqrt{3}x-\sqrt{2}x-2\sqrt{6}}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}=0

Determiniamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

\frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{3})+(-1)x^2-(2\sqrt{3}x-\sqrt{2}x-2\sqrt{6})}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}=0

Sotto i vincoli delle condizioni di esistenza possiamo cancellare il denominatore comune e in virtù dei principi di equivalenza delle equazioni, ricaviamo l'equazione equivalente

(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{3})-x^2-2\sqrt{3}x+\sqrt{2}x+2\sqrt{6}=0

Sviluppiamo il prodotto

x^2+\sqrt{3}x-\sqrt{2}x-\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}-x^2-2\sqrt{3}x+\sqrt{2}x+2\sqrt{6}=0

e moltiplichiamo tra loro i radicali \sqrt{2}\ \mbox{e} \ \sqrt{3}:

x^2+\sqrt{3}x-\sqrt{2}x-\sqrt{6}-x^2-2\sqrt{3}x+\sqrt{2}x+2\sqrt{6}=0

Procediamo con i calcoli sommando tra loro i termini simili

-\sqrt{3}x+\sqrt{6}=0

ottenendo così un'equazione di primo grado che risolviamo isolando il termine con l'incognita al primo membro

-\sqrt{3}x=-\sqrt{6}

A questo punto cambiamo i segni a destra e a sinistra dell'uguale

\sqrt{3}x=\sqrt{6}

e dividiamo i due membri per \sqrt{3}

x=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}

Non abbiamo ancora terminato: il risultato infatti può essere ulteriormente semplificato se utilizziamo la proprietà sul quoziente di radicali con lo stesso indice, grazie alla quale scriviamo

x=\sqrt{\frac{6}{3}} \ \ \to \ \ x=\sqrt{2}

La soluzione è accettabile perché soddisfa le condizioni di esistenza, pertanto concludiamo che l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è S=\{\sqrt{2}\}.
Ringraziano: Omega
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Os