Equazione letterale fratta con 2 parametri fratti

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Equazione letterale fratta con 2 parametri fratti #36810

avt
luigi rovatti
Cerchio
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni letterali fratte di primo grado e con due parametri in mi si chiede di discutere l'equazione e determinare l'insieme delle soluzioni quando possibile.

Data l'equazione letterale fratta di primo grado nei parametri a\ \mbox{e} \ b

\frac{1+a}{a}+\frac{b}{x+b}-2=0

Discutere l'esistenza delle soluzioni al variare di a\ \mbox{e} \ b e, se possibile, esprimere l'insieme soluzione.
 
 

Equazione letterale fratta con 2 parametri fratti #36820

avt
Ifrit
Amministratore
L'equazione letterale fratta di primo grado che dobbiamo discutere è

\frac{1+a}{a}-\frac{b}{x+b}-2=0

Il primo passaggio consiste nel determinare le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita o i parametri siano non nulli: ricordiamo infatti che non è possibile dividere per zero.

\\ a\ne 0 \\ \\ x+b\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -b

Scriveremo dunque

C.E.: a\ne 0 \ \wedge \ x\ne -b

dove \wedge è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

Osserviamo che se a=0, il denominatore della prima frazione algebrica sarebbe nullo e l'intera equazione perderebbe di significato.

Per a\ne 0 possiamo continuare con la risoluzione, calcolando il minimo comune multiplo tra i polinomi al denominatore

\frac{(1+a)(x+b)-ab-2a(x+b)}{a(x+b)}=0

che sotto le condizioni di esistenza può essere eliminato

(1+a)(x+b)-ab-2a(x+b)=0

Sviluppiamo i prodotti e sommiamo in seguito i termini simili

\\ x+b+ax+ab-ab-2ax-2ab=0 \\ \\ x+b-ax=0

Trasportiamo al secondo membro i termini senza l'incognita

x-ax=-b

e raccogliamo totalmente x al primo

(1-a)x=-b

L'equazione ottenuta consentirà di iniziare la discussione.

Se il coefficiente dell'incognita è uguale a zero, ossia se:

1-a=0 \ \ \to \ \ a=1

l'equazione diventa

0\cdot x =-b \ \ \to \ \ 0=-b

Ricaviamo un'equazione privata dell'incognita x, la cui veridicità dipende dal valore attribuito a b:

- se b=0, l'equazione è un'identità;

- se b\ne 0, l'equazione è impossibile.

Se il coefficiente dell'incognita è non nullo, ossia se

1-a\ne 0 \ \ \to \ \ a\ne 1

e se sussiste la condizione a\ne 0 (deriva dalle C.E.), possiamo tranquillamente dividere i due membri per il binomio 1-a

x=-\frac{b}{1-a}

Affinché la soluzione sia accettabile, dobbiamo richiedere che realizzi il vincolo x\ne -b:

x\ne - b\ \ \to \ \ -\frac{b}{1-a}\ne -b

da cui

-\frac{b}{1-a}+ b\ne 0 \ \ \to \ \ \frac{-b+b-ab}{1-a}\ne 0

Cancellato il denominatore e sommati i termini simili, ricaviamo la disuguaglianza

-ab\ne 0\ \ \to \ \ ab\ne 0

che può essere analizzata mediante la legge di annullamento del prodotto.

Se a=0 oppure b=0 la relazione ab\ne 0 è falsa perché otterremo 0\ne 0, di conseguenza la soluzione non è accettabile, ergo l'equazione è impossibile.

Se invece a\ne 0 e b\ne 0, ab\ne 0 è vera e la soluzione è accettabile.

È giunto il momento di trarre le conclusioni:

- se a=0, l'equazione è priva di significato;

- se a=1\ \wedge \ b\ne 0, l'equazione è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto;

- se a=1 \ \wedge \ b=0, l'equazione è un'identità condizionata dal vincolo x\ne 0;

- se a\ne 1 \ \wedge \ a\ne 0 \ \wedge \ b\ne 0, l'equazione è determinata e ammette come soluzione x=-\frac{b}{1-a}

- se a\ne 1 \ \wedge \ a\ne 0 \ \wedge \ b=0, l'equazione è impossibile.

L'esercizio è concluso.
Ringraziano: Omega, LittleMar, Danni
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Os