Esercizio sistema con equazione logaritmica ed esponenziale

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Esercizio sistema con equazione logaritmica ed esponenziale #36724

avt
Celestiine
Punto
Dovrei risolvere un sistema in due equazioni e in due incognite composto da un'equazione esponenziale e un'equazione logaritmica. Il mio problema risiede essenzialmente nella mia incapacità di semplificare le espressioni: sono certo che intervengono le proprietà delle potenze e le proprietà dei logaritmi.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato al seguente sistema in due incognite

\begin{cases}3^{x}\cdot 9^{-y}=27\\ \\ \log_{2}(x^2-y)-2\log_{4}(x^2)=0\end{cases}

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, danying
 
 

Esercizio sistema con equazione logaritmica ed esponenziale #36736

avt
Omega
Amministratore
Prima di determinare le eventuali coppie che soddisfano il seguente sistema di equazioni

\begin{cases}3^{x}\cdot 9^{-y}=27\\ \\ \log_{2}(x^2-y)-2\log_{4}(x^2)=0\end{cases}

è necessario imporre le condizioni di esistenza: affinché la seconda equazione sia ben posta, dobbiamo richiedere che gli argomenti dei logaritmi della seconda relazione siano maggiori di zero.

C.E. \ : \ x^2-y>0 \ \ \ \wedge \ \ \ x^2>0

Esaminiamo i vincoli dal punto di vista geometrico:

- la relazione x^2-y>0 si riscrive nella forma equivalente x^2>y e individua i punti del piano cartesiano che giacciono al di sotto della parabola di equazione y=x^2;

- la disuguaglianza x^2>0 è equivalente a x\ne 0, in quanto il quadrato di un numero reale è positivo se e solo se esso è non nullo. Geometricamente parlando, la relazione x\ne 0 individua tutti punti che non appartengono alla retta di equazione x=0 (asse delle ordinate).

Alla luce di queste osservazioni, i vincoli cui devono sottostare le incognite si riassumono nelle seguenti:

C.E. \ : \ x^2-y>0 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne 0

Torniamo al sistema e usiamo le opportune proprietà per ridurre le equazioni in forme note, partendo dalla prima:

3^{x}\cdot 9^{-y}=27

Essa è un'equazione esponenziale nelle incognite x\ \mbox{e}\ y che, grazie alle proprietà delle potenze, diventa:

3^{x}\cdot (3^2)^{-y}=3^3 \ \ \ \to \ \ \ 3^{x-2y}=3^3

Poiché le basi sono uguali, la relazione è soddisfatta nel momento in cui gli esponenti coincidono, vale a dire:

x-3y=3

Concentriamoci sulla seconda relazione del sistema

\log_{2}(x^2-y)-2\log_{4}(x^2)=0

Essa è un'equazione logaritmica nelle incognite x\ \mbox{e} \ y, in cui però i logaritmi hanno basi diverse. Nulla di particolarmente complicato, è sufficiente usare la formula del cambiamento di base per i logaritmi

\log_{a}(b)=\frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)}

valida se a \mbox{e} \ c sono numeri reali positivi e diversi da uno, mentre b è un numero reale positivo.

Usando questa regola, siamo in grado di esprimere il logaritmo in base 4 come un logaritmo in base 2

\log_{4}(x^2)=\frac{\log_{2}(x^2)}{\log_{2}(4)}=\dfrac{\log_{2}(x^2)}{2}

per cui l'equazione

\log_{2}(x^2-y)-2\log_{4}(x^2)=0

diventa

\log_{2}(x^2-y)-2\cdot\dfrac{\log_{2}(x^2)}{2}=0 \ \ \ \to \ \ \ \log_{2}(x^2-y)-\log_{2}(x^2)=0

Isolato il logaritmo in base due di x^2-y al primo membro

\log_{2}(x^2-y)=\log_{2}(x^2)

e applicata ai due membri l'esponenziale in base 2, l'equazione si semplifica come segue:

x^2-y=x^2 \ \ \ \to \ \ \ -y=0 \ \ \ \to \ \ \ y=0

Alla luce di queste considerazioni, sotto le condizioni di esistenza, il sistema iniziale è equivalente al seguente

\begin{cases}x-3y=3\\ \\ y=0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=3 \\ \\ y=0\end{cases}

Ricaviamo, quindi, la coppia (x,y)=(3,0) che, sottostando alle condizioni di esistenza, è la soluzione del sistema iniziale.
Ringraziano: Pi Greco, Celestiine
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Os