Esercizio sistema con equazione logaritmica

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Esercizio sistema con equazione logaritmica #36466

avt
xavier310
Sfera
Ho iniziato a studiare da poco tempo i sistemi di equazioni in due incognite con i logaritmi e ho già problemi nella risoluzione degli esercizi. So che devo imporre le condizioni di esistenza ed esprimere il sistema nella forma più semplice usando eventualmente le proprietà dei logaritmi, ma mi perdo nei calcoli e non so cosa fare.

Risolvere il seguente sistema

\begin{cases}\log_{4}(x)-\log_{4}(y-7)=2\\ \\ x-2y=0\end{cases}

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, Wall, Danni
 
 

Esercizio sistema con equazione logaritmica #36516

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di risolvere il sistema di equazioni

\begin{cases}\log_{4}(x)-\log_{4}(y-7)=2\\ \\ x-2y=0\end{cases}

composto dall'equazione in due incognite con i logaritmi:

\log_{4}(x)-\log_{4}(y-7)=2

e dall'equazione lineare in due incognite:

x-2y=0

Prima di svolgere qualsiasi manipolazione algebrica sulla prima relazione, occorre imporre le condizioni di esistenza richieste dalla presenza dei logaritmi. Affinché un logaritmo con base fissata sia ben posto, dobbiamo richiedere che il suo argomento sia positivo, per cui pretenderemo che:

\bullet \ \ \ x sia maggiore di zero per garantire l'esistenza del \log_{4}(x);

\bullet \ \ \ y-7 sia maggiore di zero per garantire l'esistenza di \log_{4}(y-7).

Poiché i due vincoli devono valere contemporaneamente, scriviamo che il CE associato al sistema è:

C.E. \ : \ x> 0 \ \ \ \wedge \ \ \ y>7

Osservazione di carattere geometrico.

Si noti che il vincolo x>0 individua i punti del piano cartesiano che giacciono a destra rispetto alla retta di equazione x=0, mentre il vincolo y>7 identifica i punti del piano avente ordinata maggiore di 7, vale a dire quei punti che giacciono nel semipiano sovrastante la retta di equazione y=7.

Dopo questo preambolo, occupiamoci del sistema

\begin{cases}\log_{4}(x)-\log_{4}(y-7)=2\\ \\ x-2y=0\end{cases}

Usiamo l'equazione lineare per esprimere x in termini di y

\begin{cases}\log_{4}(x)-\log_{4}(y-7)=2\\ \\ x=2y\end{cases}

dopodiché sostituiamo l'espressione nella prima relazione

\begin{cases}\log_{4}(2y)-\log_{4}(y-7)=2\\ \\ x=2y\end{cases}

I passaggi hanno fatto sì che la prima relazione si tramutasse in un'equazione logaritmica nella sola incognita y. Per risolverla esprimiamo 2 in \log_{4}(16) e isoliamo \log_{4}(2y) al primo membro

\begin{cases}\log_{4}(2y)=\log_{4}(y-7)+\log_{4}(16)\\ \\ x=2y\end{cases}

dopodiché usiamo la regola che consente di trasformare la somma di due logaritmi con la stessa base nel logaritmo del prodotto dei loro argomenti.

\begin{cases}\log_{4}(2y)=\log_{4}(16(y-7))\\ \\ x=2y\end{cases}

Tenendo a mente che due numeri positivi hanno lo stesso logaritmo se e solo se sono uguali, il sistema si riscrive nella forma equivalente

\begin{cases}2y=16(y-7)\\ \\ x=2y\end{cases} \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}2y=16y-112\\ \\ x=2y\end{cases}

Dalla prima equazione del sistema ricaviamo immediatamente che y=8, infatti:

2y=16y-112\ \ \ \to \ \ \ 14y=112\ \ \ \to \ \ \ y=\frac{112}{14}=8

mentre grazie all'uguaglianza x=2y riusciamo a determinare il valore di x.

Se y=8, infatti, la relazione x=2y diventa

x=2\cdot 8=16

per cui ricaviamo la coppia (x,y)=(16,8) che è soluzione del sistema iniziale, giacché rispetta le condizioni di esistenza!
Ringraziano: Pi Greco, xavier310, Wall
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Os