Equazione di grado 1 fratta con CE e radicali

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Equazione di grado 1 fratta con CE e radicali #36458

avt
Aldoman
Cerchio
Dovrei mostrare che un'equazione fratta di primo grado con i coefficienti irrazionali è impossibile. Nonostante abbia tentato più volte di risolverla non sono stato in grado di concludere. Potreste aiutarmi?

Dimostrare che la seguente equazione fratta di primo grado a coefficienti irrazionali è impossibile

\frac{x+\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}+\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}-\frac{2x^2}{x^2-2}=0
 
 

Equazione di grado 1 fratta con CE e radicali #36460

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio ci chiede di dimostrare che l'equazione fratta di primo grado

\frac{x+\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}+\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}-\frac{2x^2}{x^2-2}=0

è impossibile. Non facciamoci spaventare dalla presenza delle radici, la procedura risolutiva è la medesima di quelle per le equazioni fratte.

Per prima cosa scomponiamo x^2-2 vedendolo come una differenza di quadrati

x^2-2=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})

e riscriviamo l'equazione rimpiazzandolo nella terza frazione

\frac{x+\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}+\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}-\frac{2x^2}{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})}=0

A questo punto imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita siano diversi da zero.

Imponiamo che il primo denominatore sia non nullo

x-\sqrt{2}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne \sqrt{2}

Facciamo lo stesso con il secondo

x+\sqrt{2}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -\sqrt{2}

Per quanto concerne la non nullità del terzo denominatore

(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})\ne 0

dobbiamo utilizzare la legge di annullamento del prodotto mediante la quale possiamo affermare che il prodotto al primo membro è diverso da zero se e solo se entrambi i fattori che lo compongono sono non nulli, vale a dire

x+\sqrt{2}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -\sqrt{2}

e

x-\sqrt{2}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne \sqrt{2}

Con le informazioni ottenute possiamo esplicitare l'insieme di esistenza delle soluzioni

C.E.: \ x\ne-\sqrt{2}\ \wedge \ x\ne\sqrt{2}

dove \wedge indica il connettivo logico "e".

A questo punto possiamo calcolare il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore e scrivere l'equazione come segue:

\\ \frac{(x+\sqrt{2})(x+\sqrt{2})+(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2})-2x^2}{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})}=0\\ \\ \\ \frac{(x+\sqrt{2})^2+(x-\sqrt{2})^2-2x^2}{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})}=0

Sotto il vincolo del C.E. possiamo cancellare il denominatore e ottenere l'equazione equivalente

(x+\sqrt{2})^2+(x-\sqrt{2})^2-2x^2=0

Sviluppiamo i quadrati di binomio presenti

x^2+2\sqrt{2}x+2+x^2-2\sqrt{2}x+2-2x^2=0

e sommiamo i termini simili, ottenendo così un'equazione senza incognite impossibile

4=0

Possiamo concludere che l'equazione non ammette soluzioni e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni
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Os