Esercizio su divisione polinomio-monomio con frazioni ed esponenti letterali

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#36432
avt
Angela
Cerchio

Avrei bisogno di una mano per calcolare il quoziente della divisione tra un polinomio e un monomio, entrambi a esponenti letterali e con coefficienti fratti. Sicuramente sbaglio qualcosa perché ogni mio tentativo conduce a un risultato diverso da quello del libro.

Calcolare il quoziente della seguente divisione, al variare del numero naturale n ≥ 5

((1)/(2)x^(5n)y^(3n)z^(4)−(1)/(3)x^(3n+1)y^(2n−3)z^(n−2)+(5)/(2)x^(4n+1)y^(n−1)z^(4n+3)):(−x^(3n−1)yz^(3))

Grazie mille.

#36437
avt
LittleMar
Design

Prima di calcolare il quoziente della divisione tra un polinomio e un monomio, bisogna controllare che sia soddisfatta la cosiddetta condizione di divisibilità. Essa asserisce che un polinomio è divisibile per un monomio se e solo se tutti i suoi termini sono divisibili per il monomio dato.

Nella divisione

((1)/(2)x^(5n)y^(3n)z^(4)−(1)/(3)x^(3n+1)y^(2n−3)z^(n−2)+(5)/(2)x^(4n+1)y^(n−1)z^(4n+3)):(−x^(3n−1)yz^(3)) = (•)

i termini del dividendo sono:

(1)/(2)x^(5n)y^(3n)z^(4) , −(1)/(3)x^(3n+1)y^(2n−3)z^(n−2) e (5)/(2)x^(4n+1)y^(n−1)z^(4n+3)

e sono tutti divisibili per −x^(3n−1)yz^(3), infatti ogni lettera che compare nella parte letterale del monomio si manifesta anche nei termini, con esponenti maggiori o al più uguali, con n ≥ 5.

Per calcolare il quoziente della divisione, distribuiamo il monomio a ciascun addendo del dividendo

(•) = ((1)/(2)x^(5n)y^(3n)z^(4)):(−x^(3n−1)yz^(3))+(−(1)/(3)x^(3n+1)y^(2n−3)z^(n−2)):(−x^(3n−1)yz^(3))+;+((5)/(2)x^(4n+1)y^(n−1)z^(4n+3)):(−x^(3n−1)yz^(3)) =

dopodiché dividiamo tra loro i monomi: basta dividere i coefficienti e le parti letterali dei dividendi per i coefficienti e le parti letterali dei divisori, rispettivamente. Sottolineiamo che nel momento in cui operiamo con le parti letterali, dobbiamo fare riferimento alla regola sul quoziente di due potenze per stabilire gli esponenti da dare alle lettere.

= [(1)/(2):(−1)]x^(5n−(3n−1))y^(3n−1)z^(4−3)+[−(1)/(3):(−1)]x^(3n+1−(3n−1))y^(2n−3−1)z^(n−2−3)+;+[(5)/(2):(−1)]x^(4n+1−(3n−1))y^(n−1−1)z^(4n+3−3) =

A questo punto, scriviamo in forma normale gli esponenti delle varie lettere sommando i termini che vi compaiono

= [(1)/(2):(−1)]x^(5n−3n+1)y^(3n−1)z+[−(1)/(3):(−1)]x^(3n+1−3n+1)y^(2n−4)z^(n−5)+;+[(5)/(2):(−1)]x^(4n+1−3n+1)y^(n−2)z^(4n) =

= [(1)/(2):(−1)]x^(2n+1)y^(3n−1)z+[−(1)/(3):(−1)]x^(2)y^(2n−4)z^(n−5)+[(5)/(2):(−1)]x^(n+2)y^(n−2)z^(4n) =

Non ci resta che svolgere le divisioni tra frazioni, usando a dovere la regola dei segni, e scrivere il risultato.

= −(1)/(2)x^(2n+1)y^(3n−1)z+(1)/(3)x^(2)y^(2n−4)z^(n−5)−(5)/(2)x^(n+2)y^(n−2)z^(4n)

Abbiamo finito.

Ringraziano: Omega, Pi Greco
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