Esercizio, equazione esponenziale con base 9

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Esercizio, equazione esponenziale con base 9 #36407

avt
Luke
Cerchio
Mi potreste aiutare a risolvere questa equazione esponenziale con funzioni esponenziali in base 9. La mia perplessità risiede nel fatto che gli esponenti non sono uguali.

Risolvere la seguente equazione esponenziale

9^(4x-1)+2·9^(4x+1)-81^(2x+(3)/(2))+6398 = 0

Sul libro il risultato è (1)/(4). Grazie mille.
 
 

Esercizio, equazione esponenziale con base 9 #36417

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione esponenziale

9^(4x-1)+2·9^(4x+1)-81^(2x+(3)/(2))+6398 = 0

applichiamo le proprietà delle potenze e riscriviamo l'equazione come

9^(-1)·9^(4x)+2·9·9^(4x)-81^(3)/(2)·81^(2x)+6398 = 0

Per definizione di potenza con esponente negativo e per quella di potenza con esponente fratto, la precedente relazione si esprime come:

(1)/(9)·9^(4x)+18·9^(4x)-√(81^3)·81^(2x)+6398 = 0

Grazie alla proprietà sulle potenze di potenze

81^(2x) = (9^2)^(2x) = 9^(2·2x) = 9^(4x)

e in base alle proprietà dei radicali

√(81^3) = √(9^6) = 9^(3)

di conseguenza l'equazione si riduce a:

(1)/(9)·9^(4x)+18·9^(4x)-9^(3)·9^(4x)+6398 = 0

Sommiamo i primi tre termini come nel calcolo letterale - si può fare perché le potenze sono le stesse

((1)/(9)+18-9^3)9^(4x) = -6398 ;-(6398)/(9)9^(4x) = -6398

cambiamo i segni ai due membri e moltiplichiamo per (9)/(6398) così da isolare 9^(4x) a sinistra:

9^(4x) = +6398·(9)/(6398)

Effettuate le semplificazioni, otteniamo un'uguaglianza tra potenze in base 9

9^(4x) = 9

che è verificata nel momento in cui l'esponente del primo membro è uguale all'esponente del secondo

4x = 1 → x = (1)/(4)

Concludiamo quindi che l'equazione

9^(4x-1)+2·9^(4x+1)-81^(2x+(3)/(2))+6398 = 0

ammette come unica soluzione x = (1)/(4).
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit, Luke
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