Esercizio, equazione esponenziale con base 9

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Esercizio, equazione esponenziale con base 9 #36407

avt
Luke
Cerchio
Mi potreste aiutare a risolvere questa equazione esponenziale con funzioni esponenziali in base 9. La mia perplessità risiede nel fatto che gli esponenti non sono uguali.

Risolvere la seguente equazione esponenziale

9^{4x-1}+2\cdot 9^{4x+1}-81^{2x+\frac{3}{2}}+6398=0

Sul libro il risultato è \frac{1}{4}. Grazie mille.
 
 

Esercizio, equazione esponenziale con base 9 #36417

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione esponenziale

9^{4x-1}+2\cdot 9^{4x+1}-81^{2x+\frac{3}{2}}+6398=0

applichiamo le proprietà delle potenze e riscriviamo l'equazione come

9^{-1}\cdot 9^{4x}+2\cdot 9\cdot 9^{4x}-81^\frac{3}{2}\cdot 81^{2x}+6398=0

Per definizione di potenza con esponente negativo e per quella di potenza con esponente fratto, la precedente relazione si esprime come:

\frac{1}{9}\cdot 9^{4x}+18 \cdot 9^{4x}-\sqrt{81^3}\cdot 81^{2x}+6398=0

Grazie alla proprietà sulle potenze di potenze

81^{2x}=(9^2)^{2x}=9^{2\cdot 2x}=9^{4x}

e in base alle proprietà dei radicali

\sqrt{81^3}=\sqrt{9^6}=9^{3}

di conseguenza l'equazione si riduce a:

\frac{1}{9}\cdot 9^{4x}+18 \cdot 9^{4x}-9^{3}\cdot 9^{4x}+6398=0

Sommiamo i primi tre termini come nel calcolo letterale - si può fare perché le potenze sono le stesse

\\ \left(\frac{1}{9}+18-9^3\right)9^{4x}=-6398 \\ \\ \\ -\frac{6398}{9}9^{4x}=-6398

cambiamo i segni ai due membri e moltiplichiamo per \frac{9}{6398} così da isolare 9^{4x} a sinistra:

9^{4x}=+6398\cdot\frac{9}{6398}

Effettuate le semplificazioni, otteniamo un'uguaglianza tra potenze in base 9

9^{4x}=9

che è verificata nel momento in cui l'esponente del primo membro è uguale all'esponente del secondo

4x=1 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{1}{4}

Concludiamo quindi che l'equazione

9^{4x-1}+2\cdot 9^{4x+1}-81^{2x+\frac{3}{2}}+6398=0

ammette come unica soluzione x=\frac{1}{4}.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit, Luke
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Os