Esercizio: discussione equazione letterale di primo grado

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Esercizio: discussione equazione letterale di primo grado #36262

avt
mimm8
Punto
Non riesco a risolvere un'equazione parametrica fratta di primo grado a un parametro e, nonostante abbia tentato più volte di scrivere la soluzione, non sono riuscito a ottenere le soluzioni proposte dal libro.

Discutere al variare del parametro reale b l'insieme delle soluzioni associato all'equazione parametrica

(x-b)^2+3x^2=b^2+\left(2x+\frac{1}{2}b\right)^2

Grazie.
 
 

Esercizio: discussione equazione letterale di primo grado #36277

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione parametrica

(x-b)^2+3x^2=b^2+\left(2x+\frac{1}{2}b\right)^2

e poniamoci come obiettivo quello di semplificarla il più possibile. Il primo passaggio consiste nell'espandere i due quadrati di binomio:

x^2-2bx+b^2+3x^2=b^2+4x^2+2bx+\frac{1}{4}b^2

Trasportiamo i termini con l'incognita x al primo membro e quelli senza al secondo

x^2-2bx+3x^2-4x^2-2bx=b^2+\frac{1}{4}b^2-b^2

cancelliamo i termini opposti e sommiamo tra loro i termini simili, riconducendoci così a un'equazione parametrica di primo grado

-4 b x=\frac{b^2}{4}\ \ \to \ \ 4bx=-\frac{b^2}{4}

Intavoliamo la discussione al variare del parametro b.

Se il coefficiente di x è uguale a zero, vale a dire se

-4b=0  \ \  \to \ \ b=0

allora otteniamo un'identità

0=0

Se invece il coefficiente di x è non nullo, ossia se

-4b\ne 0 \ \ \to \ \ b\ne 0

allora possiamo dividere entrambi i membri per -4b:

x=-\frac{\tfrac{b^2}{4}}{4b} \ \ \to \ \ x=-\frac{b^2}{4}\cdot\frac{1}{4b}=-\frac{b}{16}

dunque l'equazione è determinata.

La discussione è terminata, ma prima scriviamo per bene i vari risultati:

- se b=0, l'equazione è indeterminata, e più precisamente è un'identità;

- se b\ne 0 l'equazione ammette l'unica soluzione x=-\frac{b}{16} ed è pertanto determinata.

Ecco fatto.
Ringraziano: Pi Greco
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