Dubbio sulla frazione in una funzione fratta

Ciao, questa frazione

(x-1)/(x^2 -1)

è un caso particolare da come ho scoperto facendo i calcoli...praticamente su 2 soluzioni una sol a viene accettabile.

Volevo sapere se è un caso particolare e ha un nome specifico,poiche esendo di 2 grado ha 2 soluzioni ma una di queste è sempre non accettabile.

E posso pure considerarla come funzione dunque, no?

ciao queste sono equazioni/disequazioni frazionarie

Suppongo che tu abbia iniziato con le equazioni. In questo caso quella che hai scritto diventa così



le soluzioni NON accettabili sono per quei valori che annullano il denominatore. In questo caso sono tutti i numeri tranne

perchè ho posto le condizioni di esistenza (C.E.) (equazione di secondo grado)

e questa è verificata per

in matematica in questo caso si scrive che le C.E sono
(si legge per ogni valore di x appartenente a R tranne -1 e +1)

Ah non è che non è sempre accettabile, e un'equazione di secondo grado ammette sempre 2 soluzioni almeno.
Tranne per esempio questa , questa non è mai verificata per nessun valore di x appartenente a numeri reali.

Spero di aver risposto ai tuoi dubbi

Ciao Alberto
Come vogliamo considerare l'espressione?
Alla sua prima apparizione è una semplice frazione algebrica da semplificare solo dopo averne imposto le condizioni di esistenza:
imponendo





Se la uguagliamo a zero diventa un'equazione:



che per le condizioni imposte non ha soluzioni reali. Si dice che l'equazione è impossibile.

Con un salto di qualità arriviamo alla disequazione e qui le cose si fanno più interessanti. Tutto dipende dal verso.



Sotto le medesime condizioni ma tenendone sempre conto possiamo semplificare:



in modo che la disequazione è verificata per





è invece verificata per



Infine nobilitiamo ancora di più la nostra espessione facendola diventare una funzione:



L'insieme di definizione è noto.

x - 1 = x - x₀ rappresenta un punto di discontinuità di terza specie o eliminabile che si presenta quando
a) per x che tende a x₀ il limite destro e sinistro esistono e sono finiti ma non coincidono con f(x₀)
b) per x che tende a x₀ il limite destro e sinistro esistono e sono finiti ma la funzione non esiste in x₀ (ed è il nostro caso)
In pratica ridefiniamo la funzione in questo modo:



di cui imponiamo le CE



e proseguiamo con lo studio della funzione tenendo ben presente che le due funzioni sono equivalenti soltanto se ci portiamo sempre dietro la condizione che ci ha permesso di ridefinire la funzione.
Nel grafico corrispondente, in x₀ = 1 ci sarà un buchino.