Scomporre una somma di cubi con frazioni

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Scomporre una somma di cubi con frazioni #36074

avt
Satiro
Frattale
Dovrei scomporre un polinomio a coefficienti fratti, sfruttando il prodotto notevole relativo alla somma di cubi. Sebbene conosca la formula, non capisco come gestire i coefficienti fratti.

Scomporre il seguente polinomio con la regola sulla somma di cubi:

\frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27}

Grazie.
 
 

Scomporre una somma di cubi con frazioni #36143

avt
Omega
Amministratore
Proponiamoci il compito di scomporre il polinomio

\frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27}

usando il prodotto notevole:

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

che consente di scomporre la somma di cubi nel prodotto tra la somma delle loro basi e il trinomio formato dal quadrato della prima base, dal quadrato della seconda e dal loro prodotto cambiato di segno.

Il binomio \frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27} è effettivamente somma di due quadrati:

- il monomio \frac{x^3}{8} è il cubo di \frac{x}{2}, infatti per le proprietà delle potenze:

\left(\frac{x}{2}\right)^{3}=\frac{x^3}{2^3}=\frac{x^3}{8}

- il monomio \frac{y^3}{27} è il cubo di \frac{y}{3}, infatti:

\left(\frac{y}{3}\right)^{3}=\frac{y^3}{3^3}=\frac{y^3}{27}

Deduciamo che le basi dei due cubi sono:

A=\frac{x}{2}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=\frac{y}{3}

e in base al prodotto notevole, ricaviamo la seguente uguaglianza:

\\ \frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27}=\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}\right)\left(\left(\frac{x}{2}\right)^2-\frac{x}{2}\cdot\frac{y}{3}+\left(\frac{y}{3}\right)^2\right)= \\ \\ \\ =\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}\right)\left(\frac{x^2}{4}-\frac{x y}{6}+\frac{y^2}{9}\right)

Abbiamo terminato.
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