Equazione con parametro e valore assoluto

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Equazione con parametro e valore assoluto #35856

avt
littlerabb94
Punto
Mi è capitato un esercizio in cui mi viene chiesto di calcolare il numero di soluzioni di un'equazione parametrica con valore assoluto. Ho tentato sia il metodo grafico, sia il metodo algebrico però ottengo risultati discordanti. Potreste aiutarmi?

Si calcoli il numero delle soluzioni dell’equazione parametrica:

|x^2-x|=k

al variare di k\in\mathbb{R}.

Grazie.
 
 

Re: Equazione con parametro e valore assoluto #35868

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio ci chiede di determinare il numero delle soluzioni associate all'equazione con valore assoluto

|x^2-x|=k

al variare del parametro k\in\mathbb{R}. Per risolvere questo particolare problema possiamo avvalerci di due tecniche risolutive:

- il metodo grafico per i sistemi di equazioni, per il quale sono richieste una certa dose di abilità nel disegno e le conoscenze delle regole per tracciare il grafico intuitivo di funzioni;

- il metodo algebrico, per il quale è richiesta una certa abilità con i calcoli.


Metodo grafico

L'insieme soluzione dell'equazione con valore assoluto

|x^2-x|=k \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{R}

coincide con l'insieme delle ascisse dei punti che soddisfano il sistema:

\begin{cases}y=|x^2-x|\\ \\ y=k\end{cases}

Dal punto di vista puramente geometrico, il sistema è soddisfatto dai punti di intersezione tra il grafico di y=|x^2-x| e quello della retta orizzontale (o per meglio dire retta parallela all'asse delle ascisse) di equazione y=k.

Per poter usare questa strategia risolutiva dobbiamo necessariamente rappresentare il grafico della funzione

y=|x^2-x|

Per prima cosa, tracciamo la parabola di equazione

y=x^2-x

avente vertice

V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)

e passante per i punti P(0,0)\ \mbox{e} \ Q(1,0).

metodo grafico parabola equazione parametrica 1

Nel momento in cui applichiamo il valore assoluto all'espressione x^2-x, la parte della parabola che giace al di sotto dell'asse delle ascisse viene ribaltata.

metodo grafico parabola equazione parametrica 2

Si noti che il punto V\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right) viene trasformato in V'\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right).

La seconda equazione del sistema, ossia y=k, individua un fascio improprio di rette parallele all'asse x: in base alla quota k avremo diverse quantità di soluzioni.

Se k<0, allora non ci sono soluzioni perché la retta y=k non incontra il grafico della funzione.

Se k=0, allora avremo due soluzioni;

Se 0<k<\frac{1}{4}, la retta y=k interseca il grafico di y=|x^2-x| in quattro punti, pertanto l'equazione |x^2-x|=k ammette 4 soluzioni.

Se k=\frac{1}{4}, allora la retta di equazione y=k interseca il grafico di y=|x^2-x| in tre punti distinti, pertanto l'equazione |x^2-x|=k ammette tre soluzioni distinte.

Se k>\frac{1}{4}, allora la retta y=k interseca il grafico di y=|x^2-x| in due punti, conseguentemente l'equazione |x^2-x|=k ammette due soluzioni distinte.


Metodo algebrico

Dopo il metodo geometrico, proponiamo la risoluzione algebrica di:

|x^2-x|=k

che è un'equazione con valore assoluto nella forma

|A(x)|=k

dove k è un numero reale. In base alla teoria, |A(x)|=k:

- se k<0, allora non ammette soluzioni;

- se k=0, allora è equivalente all'equazione A(x)=0;

- se k>0 è soddisfatta dalle soluzioni delle equazioni che si ottengono uguagliando l'argomento del valore assoluto con -k e con -k

|A(x)|=k \ \ \ \to \ \ \ A(x)=-k\ \ \ \vee \ \ \ A(x)=k

Nel caso considerato scriveremo quindi che:

- se k<0, allora |x^2-x|=k non ammette soluzioni;

- se k=0, ci riconduciamo a all'equazione di secondo grado:

x^2-x=0

che si risolve agilmente se raccogliamo totalmente x e sfruttiamo in seguito la legge di annullamento del prodotto.

x(1-x)=0 \ \ \ \to \ \ \ x=0 \ \ \ \vee \ \ \ x=1

Possiamo affermare quindi che se k è nullo, l'equazione |x^2-x|=0 ha due soluzioni.

Se k>0, allora l'equazione

|x^2-x|=k

si spezza nelle seguenti

x^2-x=-k \ \ \ \vee \ \ \ x^2-x=k

Esaminiamole separatamente, tenendo a mente che k>0.

Esprimiamo la prima equazione in forma normale:

x^2-x=-k \ \ \ \to \ \ \ x^2-x+k=0

e calcoliamone il discriminante \Delta con la formula

\Delta_1=b_1^2-4a_1c_1=

dove a_1=1, b_1=-1 \ \mbox{e} \ c_1=k:

=(-1)^2-4\cdot 1\cdot k=1-4k

In base al segno del \Delta siamo in grado di stabilire il numero di soluzioni dell'equazione.

Se \Delta_1<0, ossia se

1-4k<0\ \ \ \to \ \ \ k>\frac{1}{4}

allora l'equazione x^2-x=-k non ha soluzioni reali.

Se \Delta_1=0, ossia se

1-4k=0 \ \ \ \to \ \ \ k=\frac{1}{4}

allora l'equazione x^2-x=-k ha due soluzioni reali e coincidenti, che si ottengono con la formula

x_{1}=x_{2}=\frac{-b_{1}}{2a_1}=\frac{1}{2}

Se \Delta_1>0, vale a dire se

1-4k>0 \ \ \ \to \ \ \ k<\frac{1}{4}

allora x^2-x=-k ha due soluzioni reali e distinte, che si ottengono con la formula

\\ x_{1,2}=\frac{-b_{1}\pm\sqrt{\Delta_1}}{2a_1}=\\ \\ =\frac{1\pm\sqrt{1-4k}}{2}=\begin{cases}\dfrac{1-\sqrt{1-4k}}{2}=x_1 \\ \\ \dfrac{1+\sqrt{1-4k}}{2}=x_2\end{cases}

L'analisi della prima equazione è giunta al termine, ora ci possiamo dedicare all'equazione

x^2-x=k \ \ \ \to \ \ \ x^2-x-k=0

Calcoliamo il discriminante associato, indicando con a_2,b_2\ \mbox{e} \ c_2, rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto:

\\ \Delta_2=b_2^2-4a_2c_2=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-k)=\\ \\ =1+4k

Attenzione! In questo circostanza non è necessario riportare tutte le casistiche perché dalla positività di k segue la positività del discriminante \Delta_2: per k>0, \ \Delta_2 è somma tra 1 e il termine positivo 4k. Ciò ci permette di affermare che l'equazione

x^2-x-k=0

ammette sempre e comunque due soluzioni reali e distinte per ogni k>0, date da:

\\ \tilde{x}_{1,2}=\frac{-b_{2}\pm\sqrt{\Delta_{2}}}{2a_2}=\frac{1\pm\sqrt{1+4k}}{2}= \\ \\ \\ =\begin{cases}\dfrac{1-\sqrt{1+4k}}{2}=\tilde{x}_1\\ \\ \dfrac{1+\sqrt{1+4k}}{2}=\tilde{x}_2\end{cases}

Finalmente possiamo trarre le dovute conclusioni:

- se k<0, l'equazione iniziale non ammette alcuna soluzione;

- se k=0, l'equazione ammette due soluzioni distinte;

- se 0<k<\frac{1}{4}, allora x^2-x=-k e x^2-x=k ammettono due soluzioni distinte a testa, per cui |x^2-x|=k ha in totale quattro soluzioni distinte;

- se k=\frac{1}{4}, allora x^2-x=-k ammette una soluzione (doppia), mentre x^2-x=k ammette due soluzioni distinte, ergo |x^2-x|=k ha in totale 3 soluzioni;

- se k>\frac{1}{4}, allora x^2-x=-k non ammette soluzioni reali, mentre x^2-x=k ne ha due, pertanto |x^2-x|=k ha in totale due soluzioni.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar
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Os