Esercizio su identità di Sophie Germain con coefficienti decimali

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Esercizio su identità di Sophie Germain con coefficienti decimali #35700

avt
Aldoman
Cerchio
Potreste aiutarmi a scomporre un binomio a coefficienti decimali, per favore? So che devo usare l'identità di Sophie Germain, che però non so come utilizzarla nel caso in cui compaiono coefficienti con i numeri decimali. Forse dovrei calcolare le loro frazioni generatrici?

Scomporre il seguente polinomio nel prodotto di fattori irriducibili

0,0016\ x^4+0,0324 \ y^4

Grazie.
 
 

Esercizio su identità di Sophie Germain con coefficienti decimali #35710

avt
Ifrit
Ambasciatore
Prima di dedicarci alla scomposizione del polinomio

0,0016\ x^4+0,0324 \ y^4

conviene esprimere i numeri decimali, 0,0016\ \mbox{e} \ 0,0324, nelle rispettive frazioni generatrici.

Ricordiamo che la frazione generatrice di un numero decimale finito è appunto la frazione avente al numeratore il numero privato della virgola e al denominatore un uno seguito da tanti zeri quante sono le cifre della parte decimale. Sia chiaro che, se possibile, possiamo ridurre la frazione ai minimi termini.

Seguiamo la procedura per calcolare le frazioni associate ai numeri decimali:

\\ 0,0016=\frac{16}{10000}=\frac{1}{625} \\ \\ \\ 0,0324=\frac{324}{10000}=\frac{81}{2500}

e riportiamole nel binomio

0,0016\ x^4+0,0324 \ y^4=

che diventa

=\frac{1}{625}x^4+\frac{81}{2500}y^4

Per fattorizzare un siffatto polinomio, possiamo avvalerci dell'identità di Sophie Germain (più precisamente ripercorreremo i passaggi della sua dimostrazione).

Prima di tutto usiamo le proprietà delle potenze per ricondurci alla somma di due quadrati. Notiamo, infatti che \frac{1}{625}x^4 è il quadrato di \frac{1}{25}x^2, mentre \frac{81}{2500}y^4 è il quadrato di \frac{9}{50}y^2, per cui

\frac{1}{625}x^4+\frac{81}{2500}y^4=

diventa

=\left(\frac{1}{25}x^2\right)^2+\left(\frac{9}{50}y^2\right)^2=(\bullet)

A questo punto aggiungiamo e sottraiamo il doppio prodotto delle basi \frac{1}{25}x^2\ \mbox{e} \ \frac{9}{50}y^2, ossia:

\\ 2\cdot\left(\frac{1}{25}x^2\right)\left(\frac{9}{50}y^2\right)=\frac{18}{1250}x^2y^2= \\ \\ \\ =\frac{9}{625}x^2y^2

così da completare il quadrato di \frac{1}{25}x^2+\frac{9}{50}y^2

(\bullet)=\left(\frac{1}{25}x^2\right)^2+\left(\frac{9}{50}y^2\right)^2+\frac{9}{625}x^2y^2-\frac{9}{625}x^2y^2=

Poiché i primi tre termini costituiscono il quadrato del binomio \frac{1}{25}x^2+\frac{9}{50}y^2, possiamo rimpiazzarli con \left(\frac{1}{25}x^2+\frac{9}{50}y^2\right)^2 e ottenere:

=\left(\frac{1}{25}x^2+\frac{9}{50}y^2\right)^2-\frac{9}{625}x^2y^2=

Notato che \frac{9}{625}x^2y^2 è il quadrato di \frac{3}{25}xy, l'espressione ottenuta non è altro che la differenza di due quadrati, di conseguenza si fattorizza nel prodotto della somma tra \frac{1}{25}x^2+\frac{9}{50}y^2\ \mbox{e} \ \frac{3}{25}xy per la loro differenza, ossia:

=\left(\frac{1}{25}x^2+\frac{9}{50}y^2+\frac{3}{25}xy\right)\left(\frac{1}{25}x^2+\frac{9}{50}y^2-\frac{3}{25}xy\right)

Ecco la scomposizione richiesta del polinomio iniziale!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Aldoman
  • Pagina:
  • 1
Os