Metodo del completamento dei quadrati

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Metodo del completamento dei quadrati #35637

avt
Francesca
Punto
Avrei bisogno di una mano per capire cos'è e come funziona il metodo del completamento del quadrato. In quale contesto si usa, e in che modo è legato alle equazioni di secondo grado?

Grazie.
 
 

Metodo del completamento dei quadrati #35644

avt
Omega
Amministratore
Il metodo del completamento del quadrato è una tecnica che trasforma un trinomio di secondo grado

ax^2+bx+c\ \ \ \mbox{con} \ a\ne 0 \ \mbox{e} \ b\ne 0

nella somma tra il quadrato di un binomio di primo grado e una costante reale. In simboli matematici:

ax^2+bx+c=a(x-A)^2+B

dove A\ \mbox{e} \ B sono le costanti da determinare.

Nota: il vincolo a\ne 0 è necessario per garantire che il trinomio sia effettivamente di secondo grado e che non degeneri in uno di primo; la condizione b\ne 0 serve, invece, a non banalizzare il problema: se b=0, il polinomio si presenterebbe già nella forma richiesta.

Prima di tutto, esponiamo il metodo del completamento del quadrato per i trinomi che hanno il coefficiente del termine di secondo grado uguale a 1, vale a dire polinomi del tipo:

x^2+bx+c

dopodiché lo generalizziamo a un trinomio di secondo grado qualsiasi.


Metodo del completamento del quadrato per polinomi con coefficiente direttivo pari a 1

Se il polinomio si presenta nella forma

x^2+bx+c=

con b\ne 0, il metodo del completamento del quadrato prevede di

- aggiungere e sottrarre il quadrato di \frac{b}{2};

=x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=

- notare che i primi tre termini costituiscono lo sviluppo del quadrato di binomio \left(x+\frac{b}{2}\right)^2;

- sostituire i tre termini con il quadrato di binomio.

Ciò che otteniamo è esattamente la forma richiesta:

=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4}+c


Esempio sul metodo del completamento del quadrato per polinomi con coefficiente direttivo uguale a 1

Applichiamo il metodo del completamento del quadrato sul trinomio

x^2+4x-6

Il coefficiente di x è b=4, per cui aggiungiamo e sottraiamo il quadrato di \frac{b}{2}, vale a dire

\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2=2^2=4

In questo modo il polinomio

x^2+4x-6=

diventa

\\ =x^2+4x+4-4-6=\\ \\ =x^2+4x+4-10=

I primi tre termini costituiscono lo sviluppo del quadrato di x+2 e rimpiazzandoli con (x+2)^2, otteniamo l'espressione:

=(x+2)^2-10


Metodo del completamento del quadrato per i polinomi con coefficiente direttivo diverso da 1

Nel caso in cui il trinomio abbia coefficiente direttivo diverso da 1, ossia si presenta nella sua forma più generale:

ax^2+bx+c=

è sufficiente mettere in evidenza il coefficiente del termine di secondo grado

=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=

e applicare il metodo del completamento del quadrato sul polinomio, con coefficiente di x^2 pari 1, racchiuso tra le parentesi tonde.


Esempio sul metodo del completamento del quadrato per i polinomi con coefficiente direttivo diverso da 1

Applichiamo il metodo del completamento del quadrato sul polinomio

3x^2+6x+1=

Mettiamo in evidenza 3

=3\left(x^2+2x+\frac{1}{3}\right)=

Il coefficiente di x del polinomio tra parentesi tonde è chiaramente 2, per cui aggiungiamo e sottraiamo il quadrato della sua metà:

=3\left(x^2+2x+1-1+\frac{1}{3}\right)=

I termini x^2, \ 2x\ \mbox{e}\ 1 costituiscono lo sviluppo del quadrato di x+1, pertanto l'espressione precedente diventa

=3\left[(x+1)^2-\frac{2}{3}\right]=

distribuendo infine tre ricaviamo:

\\ =3(x+1)^2-3\cdot\frac{2}{3}= \\ \\ =3(x+1)^2-2

Abbiamo finito.


Formula per il metodo del completamento del quadrato

Se l'algebra non è il vostro forte o se non vi trovate a vostro agio con i passaggi algebrici, esiste una regola ben precisa che consente di esprimere un polinomio ax^2+bx+c nella forma a(x-A)^2+B senza svolgere alcun passaggio intermedio.

Basta usare la cosiddetta formula per il metodo del completamento del quadrato:

ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4a}\\ \\ \\ \mbox{dove }\Delta=b^2-4ac


rappresenta il discriminante associato al polinomio. Se vi steste chiedendo da dove salti fuori questa uguaglianza, potrete trovarne la dimostrazione nella lezione dedicata alla formula del discriminante.


Dove si usa il metodo del completamento del quadrato

Il metodo del completamento del quadrato ricorre in numerose applicazioni e in diversi ambiti della matematica. Nel seguito riportiamo solo alcuni esempi notevoli.

In Algebra di base, la tecnica serve a determinare la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado;

Nel contesto della Geometria Analitica, il metodo del completamento del quadrato permette di:

- esprimere l'equazione della parabola

y=ax^2+bx+c

nella forma equivalente

y=a(x-x_{V})^2+y_{V}

dalla quale si ricavano senza alcuno sforzo le coordinate del vertice V(x_{V},y_{V}).

- Esprimere l'equazione della circonferenza

x^2+y^2+a x+ by+c=0

nella forma

(x-x_{C})^2+(y-y_{C})^2=r^2

con cui è facile determinare sia le coordinate del suo centro C(x_{C},y_{C}), sia il suo raggio r.

Lo stesso si può fare con l'equazione dell'ellisse

\frac{(x-x_{C})^2}{A^2}+\frac{(y-y_{C})^2}{B^2}=1

o ancora con quella dell'iperbole

\frac{(x-x_{C})^2}{A^2}-\frac{(y-y_{C})^2}{B^2}=\pm 1

Nota: nel caso della circonferenza, dell'ellisse e dell'iperbole si parla più propriamente del metodo del completamento dei quadrati, proprio perché i quadrati da completare sono due.

Nel contesto dell'Analisi Matematica, il metodo del completamento del quadrato è particolarmente utile nel momento in cui si affrontano gli integrali di funzioni razionali con il discriminante del polinomio a denominatore negativo.

È tutto!
Ringraziano: Pi Greco, Francesca, Oni, manuelb5, Pietro.., ftor
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Os