Metodo del completamento dei quadrati

Avrei bisogno di una mano per capire cos'è e come funziona il metodo del completamento del quadrato. In quale contesto si usa, e in che modo è legato alle equazioni di secondo grado?

Grazie.

Il metodo del completamento del quadrato è una tecnica che trasforma un trinomio di secondo grado

nella somma tra il quadrato di un binomio di primo grado e una costante reale. In simboli matematici:

dove sono le costanti da determinare.

Nota: il vincolo è necessario per garantire che il trinomio sia effettivamente di secondo grado e che non degeneri in uno di primo; la condizione serve, invece, a non banalizzare il problema: se , il polinomio si presenterebbe già nella forma richiesta.

Prima di tutto, esponiamo il metodo del completamento del quadrato per i trinomi che hanno il coefficiente del termine di secondo grado uguale a 1, vale a dire polinomi del tipo:

dopodiché lo generalizziamo a un trinomio di secondo grado qualsiasi.

Metodo del completamento del quadrato per polinomi con coefficiente direttivo pari a 1

Se il polinomio si presenta nella forma

con , il metodo del completamento del quadrato prevede di

- aggiungere e sottrarre il quadrato di ;

- notare che i primi tre termini costituiscono lo sviluppo del quadrato di binomio ;

- sostituire i tre termini con il quadrato di binomio.

Ciò che otteniamo è esattamente la forma richiesta:

Esempio sul metodo del completamento del quadrato per polinomi con coefficiente direttivo uguale a 1

Applichiamo il metodo del completamento del quadrato sul trinomio

Il coefficiente di è , per cui aggiungiamo e sottraiamo il quadrato di , vale a dire

In questo modo il polinomio

diventa

I primi tre termini costituiscono lo sviluppo del quadrato di e rimpiazzandoli con , otteniamo l'espressione:

Metodo del completamento del quadrato per i polinomi con coefficiente direttivo diverso da 1

Nel caso in cui il trinomio abbia coefficiente direttivo diverso da 1, ossia si presenta nella sua forma più generale:

è sufficiente mettere in evidenza il coefficiente del termine di secondo grado

e applicare il metodo del completamento del quadrato sul polinomio, con coefficiente di pari 1, racchiuso tra le parentesi tonde.

Esempio sul metodo del completamento del quadrato per i polinomi con coefficiente direttivo diverso da 1

Applichiamo il metodo del completamento del quadrato sul polinomio

Mettiamo in evidenza

Il coefficiente di del polinomio tra parentesi tonde è chiaramente 2, per cui aggiungiamo e sottraiamo il quadrato della sua metà:

I termini costituiscono lo sviluppo del quadrato di , pertanto l'espressione precedente diventa

distribuendo infine tre ricaviamo:

Abbiamo finito.

Formula per il metodo del completamento del quadrato

Se l'algebra non è il vostro forte o se non vi trovate a vostro agio con i passaggi algebrici, esiste una regola ben precisa che consente di esprimere un polinomio nella forma senza svolgere alcun passaggio intermedio.

Basta usare la cosiddetta formula per il metodo del completamento del quadrato:

rappresenta il discriminante associato al polinomio. Se vi steste chiedendo da dove salti fuori questa uguaglianza, potrete trovarne la dimostrazione nella lezione dedicata alla formula del discriminante.

Dove si usa il metodo del completamento del quadrato

Il metodo del completamento del quadrato ricorre in numerose applicazioni e in diversi ambiti della matematica. Nel seguito riportiamo solo alcuni esempi notevoli.

In Algebra di base, la tecnica serve a determinare la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado;

Nel contesto della Geometria Analitica, il metodo del completamento del quadrato permette di:

- esprimere l'equazione della parabola

nella forma equivalente

dalla quale si ricavano senza alcuno sforzo le coordinate del vertice .

- Esprimere l'equazione della circonferenza

nella forma

con cui è facile determinare sia le coordinate del suo centro , sia il suo raggio .

Lo stesso si può fare con l'equazione dell'ellisse

o ancora con quella dell'iperbole

Nota: nel caso della circonferenza, dell'ellisse e dell'iperbole si parla più propriamente del metodo del completamento dei quadrati, proprio perché i quadrati da completare sono due.

Nel contesto dell'Analisi Matematica, il metodo del completamento del quadrato è particolarmente utile nel momento in cui si affrontano gli integrali di funzioni razionali con il discriminante del polinomio a denominatore negativo.

È tutto!