Esercizio sulle progressioni aritmetiche

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Esercizio sulle progressioni aritmetiche #35545

avt
yasmab
Cerchio
Avrei un problema sulle progressioni aritmetiche che non ho saputo risolvere.

Il prodotto dei primi 4 termini di una progressione aritmetica è -15, il rapporto tra il secondo e il terzo termine è 3. Trovare questa progressione. Quanto bisogna prendere di termini se la somma è uguale a 0?
 
 

Esercizio sulle progressioni aritmetiche #35553

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Yasmab!

Sapiamo che a_1 a_2 a_3 a_4 = -15, dove

a_n = a+(n-1)d

Sappiamo inoltre che il rapporto tra il secondo e il terzo termine è 3, quindi:

(a_2)/(a_3) = 3 ⇔ (a+d)/(a+2d) = 3 ⇔ ; ⇔ a+d = 3 (a+2d)

Portando tutto al primo membro e sommando i termini simili:

-2a-5d = 0 ⇔ a = -(5)/(2)d

Quindi la progressione aritmetica è del tipo:

a_n = -(5)/(2)d+(n-1)d = (n-(3)/(2)) d

Dunque:

a_1a_2a_3a_4 = -(15)/(16) d^4

Imponiamo l'uguaglianza con -15

-(15)/(16)d^4 = -15 ⇔ d^4 = 16 ⇔ d = ±2

Otteniamo due progressioni: per d = -2

a_n = -2(-(3)/(2)+n) = 3-2n

Per d = 2

b_n = 2n-3

La somma di n numeri in progressione aritmetica è data da:

S_n = (1)/(2)n (a_n+a_1) = -n(n-2)

ed è zero se e solo se n = 2, infatti

a_(1)+a_(2) = 0

Effettua lo stesso ragionamento per b_n.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, yasmab
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Os